设a1,a2,....an 是n个n维向量,证明它们线性无关的充要条件是任一个n维向量都可被它们线性表示谢谢!
修改一下吧,——我把“充分性”、“必要性”几个字擦掉了:
设a1,a2,。。。。an 是n个n维向量,证明它们线性无关的充要条件是任一个n维向量都可被它们线性表示。
证明 (i)必要性:因为n维向量组a1,a2,…,an线性无关,所以向量组a1,a2,…,an是所有n维向量构成的n维向量空间的一个极大线性无关组,因此n维向量空间中的任一个n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示。
(ii)充分性:因为任一n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示,特别地,n个n维单位向量e1=(1,0,…,0)^T,e2=(0,1,…,0)^T ,…,en=(0,0,…,1)^T可由a1,a2,…,an线性表示;另一方面,n维向量组a1,a2,…,an显然可由n维单位向量组e1,e2,…,en线性表示,所以向量组a1,a2,…,an与向量组e1,e2,…,en等价。
由于向量组e1,e2,,…,en线性无关,故向量组a1,a2,…,an也线性无关。
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设a1,a2,。。。。an 是n个n维向量,证明它们线性无关的充要条件是任一个n维向量都可被它们线性表示。
证明 (i)必要性:因为n维向量组a1,a2,…,an线性无关,所以向量组a1,a2,…,an是所有n维向量构成的n维向量空间的一个极大线性无关组,因此n维向量空间中的任一个n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示。
(ii)充分性:因为任一n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示,特别地,n个n维单位向量e1=(1,0,…,0)^T,e2=(0,1,…,0)^T ,…,en=(0,0,…,1)^T可由a1,a2,…,an线性表示;另一方面,n维向量组a1,a2,…,an显然可由n维单位向量组e1,e2,…,en线性表示,所以向量组a1,a2,…,an与向量组e1,e2,…,en等价。
由于向量组e1,e2,,…,en线性无关,故向量组a1,a2,…,an也线性无关。
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