An=5^n+2*3^n

1^2+2^2+3^2+...+

这个是求自然数的平方和公式，有多种求法。 方法一、图形解 n^2表示n个n相加，这样1^2、2^2、3^2、…、n^2分别表示有1个1、2个2、3个3、…、n个n相加，让它们从上到下排成n行 的正三角形（1），把正三角形（1）旋转120度得正三角（2），把正三角形（2）再旋转120度得正三角形（3),让三个正三角形重叠，这样正三形中的每个数都相等，为（1+n+n),正三角形的个数为（n+1)*n/2,两个相乘，结果再除以3就OK了。 方法二、构造法 令an=(n+1)^3-n^3,数列{an}的前n项和可求，为 （n+1)^3-1,又an=3*n^2+3*n+1------(1)(...全部

  这个是求自然数的平方和公式，有多种求法。 方法一、图形解 n^2表示n个n相加，这样1^2、2^2、3^2、…、n^2分别表示有1个1、2个2、3个3、…、n个n相加，让它们从上到下排成n行 的正三角形（1），把正三角形（1）旋转120度得正三角（2），把正三角形（2）再旋转120度得正三角形（3),让三个正三角形重叠，这样正三形中的每个数都相等，为（1+n+n),正三角形的个数为（n+1)*n/2,两个相乘，结果再除以3就OK了。
   方法二、构造法 令an=(n+1)^3-n^3,数列{an}的前n项和可求，为 （n+1)^3-1,又an=3*n^2+3*n+1------(1)(把通项展开），等式（1）右边求和，其中平方和为待求，自然数n和常数1前n项和可求。
   方法三、就是利用一个组合恒等式。 n个1相加和为n,以n为通项求前n项和，和为（n+1,2)=(n+1)n/2---(1),再以所得结果为通项求前n项和，(1)式左边的和为（n+2,3)=(n+2)(n+1)n/3（这个主要是一个组合恒等式，一会儿讲），右边为n^2和n的前n项和，同方法二，结果也可求。
  下面讲一下组合恒等式： （m,n)表示从m个不同的元素中任取n个的组合数。 有组合恒等式（m+1,n)=(m,n)+(m,n-1)。。。。。。（2） 所以求（n+1,2)的前n项和时，设其和为S，则 S=(2,2)+(3,2)+(4,2)+。
  。。+(n+1,2) =(3,3)+(3,2)+(4,2)+。。。+(n+1,2) =(4,3)+)(4,2)+。。。+(n+1,2) 根据组合恒等式（2） 。。。 =(n+2,3) 。
  收起