1^3+2^3+3^3+...+n^3=
首先我们知道一个更基本的恒等式：
1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2
由恒等式 (k+1)^4 = k^4 + 4k³ + 6k² + 4k + 1
(k-1)^4 = k^4 - 4k³ + 6k² - 4k + 1
相减，得 (k+1)^4 - (k-1)^4 = 8k³ + 8k
令 k = 1, 2, 3, 4, 。 。。, n-1, n
可分别得 2^4 - 0^4 = 8*1³ + 8*1
3^4 - 1^4 = 8*2³ + 8*2
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首先我们知道一个更基本的恒等式：
1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2
由恒等式 (k+1)^4 = k^4 + 4k³ + 6k² + 4k + 1
(k-1)^4 = k^4 - 4k³ + 6k² - 4k + 1
相减，得 (k+1)^4 - (k-1)^4 = 8k³ + 8k
令 k = 1, 2, 3, 4, 。
。。, n-1, n
可分别得 2^4 - 0^4 = 8*1³ + 8*1
3^4 - 1^4 = 8*2³ + 8*2
4^4 - 2^4 = 8*3² + 8*3
5^4 - 3^4 = 8*4³ + 8*4
……………………………
n^4 - (n-2)^4 = 8(n-1)³ + 8(n-1)
(n+1)^4 - (n-1)^4 = 8n³ + 8n
此n个式子相加可得
(n+1)^4 + n^4 - 0^4 - 1^4 = 8(1³+2³+3³+。
。。+n³) + 8(1+2+3+。。。+n)
即 2n^4 + 4n³ + 6n² + 4n = 8(1³+2³+3³+。。
。+n³) + 4n(n+1)
即 2n^4 + 4n³ + 2n² = 8(1³+2³+3³+。。。+n³)
即 n^4 + 2n³ + n² = 4(1³+2³+3³+。
。。+n³)
即 n²(n+1)² = 4(1³+2³+3³+。。。+n³)
故 1³+2³+3³+。
。。+n³ = n²(n+1)²/4
。收起
