1^3+2^3+3^3+

公式：1^3+2^3+.....+N^3

公式：1^3+2^3+。。。。。+N^3=(1+2+3+。。。+N)^2 是如何推导出来的？ 答：(i)先证：A=1+2+3+…+N=N(N+1)/2。 （1） 因为 2A=(1+N)+(2+(N-1))+(3+(N-2))+…+(N+1)=N(N+1) 所以 A=1+2+3+…+N=N(N+1)/2。 (ii)再证：1^2+2^2+3^2+…+N^2=N(N+1)(2N+1)/6 （2） 利用立方差公式，得 N^3-(N-1)^3=1*[N^2+(N-1)^2+N(N-1)] =N^2+(N-1)^2+N^2-N =2*N^2+(N-1)^2-N 于是，有 2^3-1^3=2...全部

  公式：1^3+2^3+。。。。。+N^3=(1+2+3+。。。+N)^2 是如何推导出来的？ 答：(i)先证：A=1+2+3+…+N=N(N+1)/2。 （1） 因为 2A=(1+N)+(2+(N-1))+(3+(N-2))+…+(N+1)=N(N+1) 所以 A=1+2+3+…+N=N(N+1)/2。
   (ii)再证：1^2+2^2+3^2+…+N^2=N(N+1)(2N+1)/6 （2） 利用立方差公式，得 N^3-(N-1)^3=1*[N^2+(N-1)^2+N(N-1)] =N^2+(N-1)^2+N^2-N =2*N^2+(N-1)^2-N 于是，有 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 。
  。。。。。 N^3-(N-1)^3=2*N^2+(N-1)^2-N 上述等式叠加，得 N^3-1^3=2*(2^2+3^2+。。。+N^2)+[1^2+2^2+。。。+(N-1)^2]-(2+3+4+。
  。。+N) =2*(1^2+2^2+3^2+。。。+N^2)-2+[1^2+2^2+。。。+(N-1)^2+N^2]-N^2-(2+3+4+。。。+N) =3*(1^2+2^2+3^2+。
  。。+N^2)-2-N^2-(1+2+3+。。。+N)+1 =3(1^2+2^2+。。。+N^2)-1-N^2-N(N+1)/2 于是 3(1^2+2^2+。。。+N^2) =N^3+N^2+N(N+1)/2 =N(N+1)(N+1/2) =N(N+1)(2N+1)/2 所以 1^2+2^2+3^2+。
  。。+N^2=N(N+1)(2N+1)/6。 (iii)最后证：1^3+2^3+3^3+……+N^3=[N(N+1)/2]^2 （3） (N+1)^4-N^4=[(N+1)^2+N^2][(N+1)^2-N^2] =(2N^2+2N+1)(2N+1) =4N^3+6N^2+4N+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 。
  。。。。。 (N+1)^4-N^4=4*N^3+6*N^2+4*N+1 上面诸式叠加，得 (N+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3。。。+N^3)+6*(1^2+2^2+。。
  。+N^2)+4*(1+2+3+。。。+N)+N 4*(1^3+2^3+3^3+。。。+N^3)=(N+1)^4-1+6*[N(N+1)(2N+1)/6]+4*[(1+N)N/2]+N =[N(N+1)]^2 所以 1^3+2^3+。
  。。+N^3=[N(N+1)/2]^2 由(1),(3)即得 1^3+2^3+。。。。。+N^3=(1+2+3+。。。+N)^2。 。收起