公式：1^3+2^3+.....+N^3
公式：1^3+2^3+。。。。。+N^3=(1+2+3+。。。+N)^2 是如何推导出来的？
答：(i)先证：A=1+2+3+…+N=N(N+1)/2。 （1）
因为 2A=(1+N)+(2+(N-1))+(3+(N-2))+…+(N+1)=N(N+1)
所以 A=1+2+3+…+N=N(N+1)/2。
(ii)再证：1^2+2^2+3^2+…+N^2=N(N+1)(2N+1)/6 （2）
利用立方差公式，得
N^3-(N-1)^3=1*[N^2+(N-1)^2+N(N-1)]
=N^2+(N-1)^2+N^2-N
=2*N^2+(N-1)^2-N
于是，有
2^3-1^3=2...全部
公式：1^3+2^3+。。。。。+N^3=(1+2+3+。。。+N)^2 是如何推导出来的？
答：(i)先证：A=1+2+3+…+N=N(N+1)/2。 （1）
因为 2A=(1+N)+(2+(N-1))+(3+(N-2))+…+(N+1)=N(N+1)
所以 A=1+2+3+…+N=N(N+1)/2。
(ii)再证：1^2+2^2+3^2+…+N^2=N(N+1)(2N+1)/6 （2）
利用立方差公式，得
N^3-(N-1)^3=1*[N^2+(N-1)^2+N(N-1)]
=N^2+(N-1)^2+N^2-N
=2*N^2+(N-1)^2-N
于是，有
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
。
。。。。。
N^3-(N-1)^3=2*N^2+(N-1)^2-N
上述等式叠加，得
N^3-1^3=2*(2^2+3^2+。。。+N^2)+[1^2+2^2+。。。+(N-1)^2]-(2+3+4+。
。。+N)
=2*(1^2+2^2+3^2+。。。+N^2)-2+[1^2+2^2+。。。+(N-1)^2+N^2]-N^2-(2+3+4+。。。+N)
=3*(1^2+2^2+3^2+。
。。+N^2)-2-N^2-(1+2+3+。。。+N)+1
=3(1^2+2^2+。。。+N^2)-1-N^2-N(N+1)/2
于是
3(1^2+2^2+。。。+N^2)
=N^3+N^2+N(N+1)/2
=N(N+1)(N+1/2)
=N(N+1)(2N+1)/2
所以 1^2+2^2+3^2+。
。。+N^2=N(N+1)(2N+1)/6。
(iii)最后证：1^3+2^3+3^3+……+N^3=[N(N+1)/2]^2 （3）
(N+1)^4-N^4=[(N+1)^2+N^2][(N+1)^2-N^2]
=(2N^2+2N+1)(2N+1)
=4N^3+6N^2+4N+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
。
。。。。。
(N+1)^4-N^4=4*N^3+6*N^2+4*N+1
上面诸式叠加，得
(N+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3。。。+N^3)+6*(1^2+2^2+。。
。+N^2)+4*(1+2+3+。。。+N)+N
4*(1^3+2^3+3^3+。。。+N^3)=(N+1)^4-1+6*[N(N+1)(2N+1)/6]+4*[(1+N)N/2]+N
=[N(N+1)]^2
所以 1^3+2^3+。
。。+N^3=[N(N+1)/2]^2
由(1),(3)即得
1^3+2^3+。。。。。+N^3=(1+2+3+。。。+N)^2。
。收起
