排列组合问题

在圆周上圈出8个圈， 任选1个圈（不妨记A）填1， A圈两旁填1是同一种排列，所以另一个1只可能有6种填法， 剩下6个数排列方法有6!种， 但2与2，3与3，4与4各重复了一次， 故本题排列方法共有 6*6!/2^3=540种

以下错误哦，撤销！！！！！！！！！ 固定一个位置放1接下去环形就是7！重复的形式只有1abc1abc，这种形式只有3！种。 所以本题答案为7！-3！=5034种。

    在圆周上顺时针均匀放置8个位置①……⑧，于是①⑤、②⑥、③⑦、④⑧是对径点。把符号1234各取两个放入这8个位置，共有8!/(2!)^4=2520种放法（有重复排列）。
  顺时针旋转π/4的置换g=(12345678)生成一个8阶置换群G。若一种放法在G的作用下变成另一种，就将这两种放法归为一类，于是问题就转化为求这2520种放法在G的作用下分成多少类。  由Burnside定理，类数=G中所有元素的不动点个数之和/G的阶。
  于是只需求出G中元素的不动点（即被保持不变的放法）个数就可解出答案。 群G中元素g,g^3,g^5,g^7（对应于转kπ/4, k=1,3,5,7）要改变所有8个位置，无法保持任何一种放法不变。
    g^2,g^6（对应于转π/2, 3π/2）要分别改变两组各4个位置中的符号，也不可能有不动点。g^4旋转π，将对径点互变。故只要对径点放同样的符号，就被g^4保持不变。
  这样的放法共有4!=24种。最后g^8相当于恒等变换，保持所有2520种放法不变。故G中所有元素共有2520+24=2544个不动点。  用Burnside定理推出共有2544/8=318个不同的类。
  换言之共有318种不同的放法。 --------------------------------- 如果允许逆时针放置，相当于允许对圆环作翻转。记f=(2,8)(3,7)(4,6)为关于轴①⑤的翻转，就相当于把原来的圆排列逆时针重排。
    这时相应的群H=是16阶的，除去原来的8个旋转，再添上4个翻转和4个翻转加旋转（翻转加旋转=另一旋转加翻转）。同理可证包括翻转f的这8个变换都保持24个不动点。于是有（2520+9*24）/16=171个。
  所以有171中不同的放法。

    出题人补充有点不清楚，为什么是“有的”排列顺时针和逆时针其实对应的是相同的排列？ 我猜是所有排列反过来写都认为没有区别，即只有相邻关系是重要的。先前的解答基本思路不需要改变，只是对称群增大了，答案变成了171，具体如下： 对于两个1间距是1,2,3的情况，两个1定义了一个对称轴（它们连线的中垂线），一般的填法镜像反射过去会改变，依题意应算为一种，所以算重了。
    镜像对称的填法有3! 种，所以不等价的有 3! + (6!/ 2^3 - 3!)/2 = 48种。 对于两个1间距是4的情况，由于它们占据了对径点，除了中心对称，还有两个镜像反射对称（分别以两个1的连线及其中垂线为对称线），一般的情况4个填法等同1个，但分别有3!种情况具有中心对称和两个镜像对称，而且它们各不相同，所以不等价的填法有 (3! + 3! + 3!) / 2 + (6!/ 2^3 - 3! - 3! - 3!) / 4 = 27 (说明：前面除以2是因为每个具有一个对称性的排列只与另一个等价，比如12341234与14321432，123214341与14341232)， 总之，不等价的填法共有 3 * 48 + 27 = 171 种。
     ================================= 先选两个位置给1，剩下的就好填了。 由于旋转对称性，两个1的距离（间隔）才是有意义的。 两个1的距离有1,2,3,4四种可能， 对于前三种可能中的任一种，剩下的6个数有6！/ 2^3 = 90种不同的填法。
     但对于间隔为4，即两个1在对径点，的情况，稍微有一点不同，比如12341432和14321234其实是一样的。这样的重复排列共有3！= 6对，所以共有 90 - 6 = 84种不同的填法。
   总共有 3 * 90 + 84 = 354 种不等价的填法。 ------------------------ 以上是最开始的解答，与楼下用群论的结果不一样，赶紧查错，原来间隔是4的情况想错了。
    如果abc与efg不相等，则1abc1efg 和 1efg1abc是一样的。像这样的共有(90 - 6！)/2 = 42对，所以总共有 3 * 90 + (90 - 42) = 318 还是群论强大。
  

我前面答错了。