工科数学分析基础的一道题
区间套定理:
① a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b1
② lim(bn-an)=0,当n→+∞时
则存在唯一点P∈闭区间[an, bn],任取n∈N
证明:记无限集合A={ a1,a2,…,an ,…}且an≤b1任取n∈N
记无限集合B={ b1,b2,…,bn ,…}且bn≥a1任取n∈N
集合A有上界,集合B有下界,依据确界存在原理:
A有上确界Y,B有下确界X
即:an≤Y且bn≥X,任取n∈N
且对于任意的ε>0而言:存在M∈N,只要n>M,
恒有:
Y-ε/2<an≤Y,X≤bn<X+ε/2,(确界定义)
∣bn-an∣<ε (极限定义)
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区间套定理:
① a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b1
② lim(bn-an)=0,当n→+∞时
则存在唯一点P∈闭区间[an, bn],任取n∈N
证明:记无限集合A={ a1,a2,…,an ,…}且an≤b1任取n∈N
记无限集合B={ b1,b2,…,bn ,…}且bn≥a1任取n∈N
集合A有上界,集合B有下界,依据确界存在原理:
A有上确界Y,B有下确界X
即:an≤Y且bn≥X,任取n∈N
且对于任意的ε>0而言:存在M∈N,只要n>M,
恒有:
Y-ε/2<an≤Y,X≤bn<X+ε/2,(确界定义)
∣bn-an∣<ε (极限定义)
(注意:an≤bn)
故:0≤bn - an<X-Y+ε且X-Y≤bn - an=∣bn-an∣<ε
即:Y<X+ε且X<Y+ε
由于ε的任意性可知:Y≤X且X≤Y,从而X=Y
记P=X=Y,显然an≤P≤bn,任取n∈N,
现证明:P唯一
假设存在Q≠P,且Q∈闭区间[an, bn],任取n∈N
于是0≤∣Q-P∣≤∣bn-an∣= bn - an
利用夹逼定理可知:lim∣Q-P∣=0,当n→+∞时,
于是Q=P,与假设矛盾!
定理得证!
。
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