[回归原题]
命题:设x=a0。a1a2。。。an。。。 与y=b0。b1b2。。。bn。。。为两个实数，
则x＜y的等价条件是：存在非负整数n，使得
精确到10^(-n)的过剩近似值＜y精确到10^(-n)的不足近似值。
1。假定存在非负整数n，使得
x精确到10^(-n)的过剩近似值＜y精确到10^(-n)的不足近似值。
即a0。a1a2。。。(an +1) ＜ b0。 b1b2。。。bn
【评注:最严格的表达形式是zhh2360先生所写的那样
a0。a1a2。。。an +10^(-n) ＜ b0。b1b2。。。bn】
显然
x＜x精确到10^(-n)的过剩近似值,
y≥y精确到...全部
[回归原题]
命题:设x=a0。a1a2。。。an。。。 与y=b0。b1b2。。。bn。。。为两个实数，
则x＜y的等价条件是：存在非负整数n，使得
精确到10^(-n)的过剩近似值＜y精确到10^(-n)的不足近似值。
1。假定存在非负整数n，使得
x精确到10^(-n)的过剩近似值＜y精确到10^(-n)的不足近似值。
即a0。a1a2。。。(an +1) ＜ b0。
b1b2。。。bn
【评注:最严格的表达形式是zhh2360先生所写的那样
a0。a1a2。。。an +10^(-n) ＜ b0。b1b2。。。bn】
显然
x＜x精确到10^(-n)的过剩近似值,
y≥y精确到10^(-n)的不足近似值
x＜a0。
a1a2。。。(an +1)＜b0。b1b2。。。bn≤y
从而 x＜y
2。构造性证法
假定x＜y
即a0。a1a2。。。an。。。＜b0。b1b2。。。bn。。。
【先说大体思路:
显然a0≤b0,
。
。要是a0＜b0-1,
。。那么a0 +1＜b0,
。。也就是说:
。。x精确到个位的过剩近似值＜y精确到个位的不足近似值。
。。要是a0＝b0-1,
。。那么从a1,a2,a3,。
。。向后找第一个不是9的an
。。[按照规定,无限循环小数不以9为循环节。]
。。就有a0。a1a2。。。(an +1) ＜b0。b1b2。。。bn
。。x精确到10^(-n)的过剩近似值＜y精确到10^(-n)的不足近似值。
要是a0=b0,
显然a1≤b1
再来重复以上过程,比较a1与b1,
。。。。要是a1＜b1-1,
。。。。那么a1 +1＜b1,
。。。。也就是说:
。。。
。x精确到十分位的过剩近似值＜y精确到十分位的不足近似值。
。。。。要是a1＝b1-1,
。。。。那么从a2,a3,。。。向后找第一个不是9的am
。。。。就有a0。a1a2。。。(am +1) ＜b0。
b1b2。。。bm
。。。。x精确到10^(-m)的过剩近似值＜y精确到10^(-m)的不足近似值。
要是a1=b1,
显然a2≤b2
再来重复以上过程,比较a2与b2,。。。。
。。】
因为x＜y
所以ak=bk,不可能对任意k∈N恒成立,
因此必存在非负整数(即自然数)m,使
am＜bm
设M={m|am＜bm, m∈N}
根据良序原理,M中必有最小数,设其为n,
即
a0 = b0,
a1 = b1,
a2 = b2,
a3 = b3,
。
。。
a(n-1) = b(n-1),
an ＜bn
要是an +1 ＜ bn
那么a0。a1a2。。。(an +1) ＜b0。b1b2。。。bn
即x精确到10^(-n)的过剩近似值＜y精确到10^(-n)的不足近似值。
要是an +1 = bn
那么从a(n+1),a(n+2),a(n+3),。。。向后找第一个不是9的ak
[因为按照规定,无限循环小数不以9为循环节。
所以这样的ak一定可以找到!]
就有a0。
a1a2。。。(ak +1) ＜ b0。b1b2。。。bk
即x精确到10^(-k)的过剩近似值＜y精确到10^(-k)的不足近似值。
综2。所述,
当x＜y时,存在非负整数n，使得
精确到10^(-n)的过剩近似值＜y精确到10^(-n)的不足近似值。
综合1。和2。,原题得证。收起
