哪位朋友知道区间套定理是什么?谢
你是否要的这个?
区间套定理 ZT
下面给出一个有关区间套的定理。
记得我们曾经用有理区间套来定义实数,那种方式直观但不尽完美。现在很高兴可以在我们新的实数理论中,证明与区间套有关的结论。 我们将看到,这个区间套定理只是确界定理的一个应用而已。 [定理] 区间套定理 设{[An, Bn] | n=1,2,…}是一串闭区间,且满足条件[An, Bn]Ê[An+1, Bn+1] (n=1,2,…),则 ∩[An, Bn] ¹Æ (n=1,2,…) 证明:由假设对每个自然数n,都有[An, Bn]Ê[An+1, Bn+1],所以当自然数n&poun...全部
你是否要的这个?
区间套定理 ZT
下面给出一个有关区间套的定理。
记得我们曾经用有理区间套来定义实数,那种方式直观但不尽完美。现在很高兴可以在我们新的实数理论中,证明与区间套有关的结论。
我们将看到,这个区间套定理只是确界定理的一个应用而已。 [定理] 区间套定理 设{[An, Bn] | n=1,2,…}是一串闭区间,且满足条件[An, Bn]Ê[An+1, Bn+1] (n=1,2,…),则 ∩[An, Bn] ¹Æ (n=1,2,…) 证明:由假设对每个自然数n,都有[An, Bn]Ê[An+1, Bn+1],所以当自然数n£m时,有[An, Bn] Ê[Am, Bm],即有An £ Am £ Bm £ Bn。
由此就有An£Bm和Am£Bn。因此,不等式An£Bm对于任意的自然数都成立。于是集合A={A1,A2,…,An,…}是有上界的,因为每个Bm都是它的上界。
根据上确界定理,集合A有上确界X0。因此对每个自然数n,由AnÎA,有An£X0。又因为对于每个自然数n,Bn都是A的上界,因此X0£Bn。所以对于每个自然数n,都有An£X0£Bn,即X0Î[An, Bn],故X0Î∩[An, Bn],从而有 ∩[An, Bn]¹Æ。
证毕。 顺便指出,上述定理并不要求对于每个闭区间[An, Bn],有Bn>An。只要求Bn³An就可以了(当然,如果存在自然数k,使得Bk=Ak (=X0),那么此后所有的区间都只包含一个实数,且∩[An, Bn]={X0})。
另外,若上面的区间套数量是有限的,显然定理也是成立的。 这个区间套定理也让我们产生这样一个问题:在什么情况下,∩[An, Bn]只包含一个实数?根据以前的经验,我们可能这样猜想:若区间[An, Bn]的“长度”趋向于零,那么∩[An, Bn]将包含唯一的实数。
但是,我们这个实数理论中,目前还尚无“距离”的概念。因此我们要另外考虑。在上面定理的证明过程中我们看到,A有上确界X0。与此类似,设B={B1,B2,…,Bn,…},那么B有下确界Y0。我们可能已经想到了,∩[An, Bn]包含唯一实数的充分必要条件是X0=Y0。
下面给出证明。 [命题] 设{[An, Bn] | n=1,2,…}是闭区间套,[An, Bn]Ê[An+1, Bn+1] (n=1,2,…)。 另设A={A1,A2,…,An,…},有上确界X0;B={B1,B2,…,Bn,…},有下确界Y0。
那么∩[An, Bn]包含唯一实数的充分必要条件是X0=Y0。 证明:先证必要性。设∩[An, Bn]包含唯一的实数,那么根据区间套定理的证明,A={A1,A2,…,An,…}的上确界X0Î∩[An, Bn]。
同理可证Y0Î∩[An, Bn]。但已知∩[An, Bn]只包含一个实数,因此X0=Y0。 再证充分性。因为”XÎ∩[An, Bn],有An £X£ Bn,对于任意的自然数n都成立。
因此X是A={A1,A2,…,An,…}的上界。由于X0是A的上确界,所以X0£X。类似地,因为X是B={B1,B2,…,Bn,…}的下界,所以X£ Y0。这样就有X0£X£Y0。
但已知X0=Y0,所以满足条件的X只有一个(X=X0=Y0),即∩[An, Bn]只包含一个实数。证毕。
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