工科数学分析基础的一道题

哪位朋友知道区间套定理是什么？谢谢！

你是否要的这个？ 区间套定理 ZT 下面给出一个有关区间套的定理。 记得我们曾经用有理区间套来定义实数，那种方式直观但不尽完美。现在很高兴可以在我们新的实数理论中，证明与区间套有关的结论。 我们将看到，这个区间套定理只是确界定理的一个应用而已。 [定理] 区间套定理 设{[An, Bn] | n=1,2,…}是一串闭区间，且满足条件[An, Bn]Ê[An+1, Bn+1] (n=1,2,…)，则 ∩[An, Bn] ¹Æ (n=1,2,…) 证明：由假设对每个自然数n，都有[An, Bn]Ê[An+1, Bn+1]，所以当自然数n&poun...全部

  你是否要的这个？ 区间套定理 ZT 下面给出一个有关区间套的定理。 记得我们曾经用有理区间套来定义实数，那种方式直观但不尽完美。现在很高兴可以在我们新的实数理论中，证明与区间套有关的结论。
  我们将看到，这个区间套定理只是确界定理的一个应用而已。 [定理] 区间套定理 设{[An, Bn] | n=1,2,…}是一串闭区间，且满足条件[An, Bn]Ê[An+1, Bn+1] (n=1,2,…)，则 ∩[An, Bn] ¹Æ (n=1,2,…) 证明：由假设对每个自然数n，都有[An, Bn]Ê[An+1, Bn+1]，所以当自然数n£m时，有[An, Bn] Ê[Am, Bm]，即有An £ Am £ Bm £ Bn。
  由此就有An£Bm和Am£Bn。因此，不等式An£Bm对于任意的自然数都成立。于是集合A={A1,A2,…,An,…}是有上界的，因为每个Bm都是它的上界。
  根据上确界定理，集合A有上确界X0。因此对每个自然数n，由AnÎA，有An£X0。又因为对于每个自然数n，Bn都是A的上界，因此X0£Bn。所以对于每个自然数n，都有An£X0£Bn，即X0Î[An, Bn]，故X0Î∩[An, Bn]，从而有 ∩[An, Bn]¹Æ。
  证毕。 顺便指出，上述定理并不要求对于每个闭区间[An, Bn]，有Bn>An。只要求Bn³An就可以了（当然，如果存在自然数k，使得Bk=Ak (=X0)，那么此后所有的区间都只包含一个实数，且∩[An, Bn]={X0}）。
  另外，若上面的区间套数量是有限的，显然定理也是成立的。 这个区间套定理也让我们产生这样一个问题：在什么情况下，∩[An, Bn]只包含一个实数？根据以前的经验，我们可能这样猜想：若区间[An, Bn]的“长度”趋向于零，那么∩[An, Bn]将包含唯一的实数。
  但是，我们这个实数理论中，目前还尚无“距离”的概念。因此我们要另外考虑。在上面定理的证明过程中我们看到，A有上确界X0。与此类似，设B={B1,B2,…,Bn,…}，那么B有下确界Y0。我们可能已经想到了，∩[An, Bn]包含唯一实数的充分必要条件是X0=Y0。
  下面给出证明。 [命题] 设{[An, Bn] | n=1,2,…}是闭区间套，[An, Bn]Ê[An+1, Bn+1] (n=1,2,…)。 另设A={A1,A2,…,An,…}，有上确界X0；B={B1,B2,…,Bn,…}，有下确界Y0。
  那么∩[An, Bn]包含唯一实数的充分必要条件是X0=Y0。 证明：先证必要性。设∩[An, Bn]包含唯一的实数，那么根据区间套定理的证明，A={A1,A2,…,An,…}的上确界X0Î∩[An, Bn]。
  同理可证Y0Î∩[An, Bn]。但已知∩[An, Bn]只包含一个实数，因此X0=Y0。 再证充分性。因为”XÎ∩[An, Bn]，有An £X£ Bn，对于任意的自然数n都成立。
  因此X是A={A1,A2,…,An,…}的上界。由于X0是A的上确界，所以X0£X。类似地，因为X是B={B1,B2,…,Bn,…}的下界，所以X£ Y0。这样就有X0£X£Y0。
  但已知X0=Y0，所以满足条件的X只有一个（X=X0=Y0），即∩[An, Bn]只包含一个实数。证毕。 。收起