三角形面积已知：钝角三角形ABC的三边为连续奇整数，且∠A、∠B满足∠A=2∠B，求三角形ABC的面积。
已知：钝角三角形ABC的三边为连续奇整数，且∠A、∠B满足∠A=2∠B，求三角形ABC的面积。
设△ABC的三边为：2n-1、2n+1、2n+3（n为自然数）
那么，2n+3所对的角最大，即为钝角，所以：
cosθ=[(2n-1)^2+(2n+1)^2-(2n+3)^2]/[2(2n-1)*(2n+1)]
=(4n^2-4n+1+4n^2+4n+1-4n^2-12n-9)/[2(2n-1)*(2n+1)]
=(4n^2-12n-7)/[2(2n-1)*(2n+1)] (2n+1)(2n-7)-1/2 n=1或2或3
1）
当n=1时，△ABC的三边为1、3、5，它们无法构成三角形。 舍去...全部
已知：钝角三角形ABC的三边为连续奇整数，且∠A、∠B满足∠A=2∠B，求三角形ABC的面积。
设△ABC的三边为：2n-1、2n+1、2n+3（n为自然数）
那么，2n+3所对的角最大，即为钝角，所以：
cosθ=[(2n-1)^2+(2n+1)^2-(2n+3)^2]/[2(2n-1)*(2n+1)]
=(4n^2-4n+1+4n^2+4n+1-4n^2-12n-9)/[2(2n-1)*(2n+1)]
=(4n^2-12n-7)/[2(2n-1)*(2n+1)] (2n+1)(2n-7)-1/2 n=1或2或3
1）
当n=1时，△ABC的三边为1、3、5，它们无法构成三角形。
舍去。
2）
当n=2时，△ABC的三边为3、5、7
此时，最大角cosθ=(3^2+5^2-7^2)/(2*3*5)
=(9+25-49)/30=-1/2
所以，θ=120°
显然，θ≠A且θ≠B
（因为∠A=2∠B，若∠A=θ=120°，则∠B=60°，那么∠C=0°；若∠B=θ=120°，则∠A=240°）
所以，∠C=120°
即，c=7
又因为∠A=2∠B，所以：a=5,b=3
那么，cos∠A=(9+49-25)/(2*3*7)=11/14
cos∠B=(25+49-9)/(2*5*7)=13/14
则，sin∠A=5√3/14
sin∠B=3√3/14
因为∠A=2∠B，所以：sin∠A=sin(2∠B)=2sin∠Bcos∠B
但是，很明显，上述求得的值无法满足等式，舍去。
3）故n=3，△ABC的三边只能是5、7、9
此时，cosθ=(25+49-81)/(2*5*7)=-1/10
所以，sinθ=3√11/10
所以，△ABC的面积=(1/2)*5*7*(3√11/10)=21√11/4。
收起
