求下列各函数图形的凹凸区间及拐点1)y=x^2e^-x2)y=ln(x^2+1)
求下列各函数图形的凹凸区间及拐点
1)y=x^2e^-x
y'=2x*e^(-x)+x^2*e^(-x)*(-1)=(2x-x^2)*e^(-x)
y''=(2-2x)*e^(-x)+(2x-x^2)*e^(-x)*(-1)
=(2-2x-2x+x^2)*e^(-x)
=(x^2-4x+2)*e^(-x)
则,当y''=0时有:x^2-4x+2=0
解得:x=2±√2
当x>2+√2,或者x<2-√2时,y''>0,图像下凹;
当2-√2<x<2+√2时,y''<0,图像上凸。
所以,在x=2±√3时,函数点为拐点。
2)y=ln(x^2+1)
y'=2x/(x^2+1)
y''=[2(x^2+1)-2x*2x]/(x^2+1)^2=(2-2x^2)/(x^2+1)^2
则,当y''=0时有:2-2x^2=0
解得,x=±1
当x>1,或者x<-1时,y''<0,图像上凸;
当-1<x<1时,y''>0,图像下凹。
所以,图像有两个拐点(1,ln2)和(-1,ln2)。
1. x=2±√3 2. x=±1