A是什么矩阵时，存在B不等于E，使得AB
A是什么矩阵时，存在B不等于E，使得AB=A（A，B都是n阶矩阵）
解法一 设存在B不等于E,使得AB=A ,则
A(B-E)=O ==>A^(*)A(B-E)=O ==>|A|E(B-E)=O==>|A|(B-E)=O,
因为 B不等于E，所以B-E≠O,
因此 |A|=0,即A不可逆。
解法二 设存在B不等于E,使得AB=A ,则
A(B-E)=O，
可见B-E的n个列向量是方程Ax=O的解向量，
因为B不等于E，即B-E≠O,所以B-E的n个列向量不全为零向量,
因此方程Ax=O有非零解，
由克莱姆法则知，系数行列式|A|=0,即A不可逆。
注记：如果仅仅只要判明A的条件,那...全部
A是什么矩阵时，存在B不等于E，使得AB=A（A，B都是n阶矩阵）
解法一 设存在B不等于E,使得AB=A ,则
A(B-E)=O ==>A^(*)A(B-E)=O ==>|A|E(B-E)=O==>|A|(B-E)=O,
因为 B不等于E，所以B-E≠O,
因此 |A|=0,即A不可逆。
解法二 设存在B不等于E,使得AB=A ,则
A(B-E)=O，
可见B-E的n个列向量是方程Ax=O的解向量，
因为B不等于E，即B-E≠O,所以B-E的n个列向量不全为零向量,
因此方程Ax=O有非零解，
由克莱姆法则知，系数行列式|A|=0,即A不可逆。
注记：如果仅仅只要判明A的条件,那么上面的解答应该已经可以了。
如果将题目改为：证明：n阶矩阵A不可逆的充分必要条件是：存在n阶矩阵B,且B≠E，使得AB=A。那么就得证明矩阵B的存在性。
矩阵B的存在性证明如下：先构造矩阵B-E,然后就可以构造出矩阵B。具体方法如下:
设A是任意不可逆矩阵,且R(A)=r,则方程Ax=O的基础解系所含的基解向量的个数为n-r(≥1),设基础解系为：ξ1,ξ2,…,ξ(n-r),
记B-E=(ξ1,ξ2,…,ξ(n-r),0,…,0),
则B=(ξ1+e1,ξ2+e2,…,ξ(n-r)+e(n-r),e(n-r+1),…,en)即为所求,其中e1,e2,…,en是n维标准单位列向量。
实际上矩阵B不是唯一的,例如:
若取B-E=(ξ1,0,0,…,0),则
B=(ξ1+e1,e2,e3,…,en)。
注意：因为ξ1,ξ2,…,ξ(n-r)都是基解向量(解向量的极大线性无关组),所以它们都是非零向量,因此B≠E。
希望这个解答比楼主在书上所看到的解答更明白些。
。收起
