初二数学几何题

三角形中线不等式

设ma,mb,mc为三角形ABC相应边上的中线,BC=a,CA=b,AB=c。 求证: a^2mbmc+b^2mcma+c^2mamb≥[(a^2+b^2+c^2)/2]^2 (1) 证明 由Klamkin中线对偶定理知，不等式(1)等价于 bcma^2+camb^2+abmc^2≥[(a^2+b^2+c^2)/2]^2 简记为 ∑bcma^2≥[(∑a^2)/2]^2 (2) 将中线长公式：4ma^2=2b^2+2c^2-a^2代入(2), 得 ∑bc(2b^2+2c^2-a^2)≥(∑a^2)^2 即 2(∑bc)(∑a^2)...全部

  设ma,mb,mc为三角形ABC相应边上的中线,BC=a,CA=b,AB=c。 求证: a^2mbmc+b^2mcma+c^2mamb≥[(a^2+b^2+c^2)/2]^2 (1) 证明 由Klamkin中线对偶定理知，不等式(1)等价于 bcma^2+camb^2+abmc^2≥[(a^2+b^2+c^2)/2]^2 简记为 ∑bcma^2≥[(∑a^2)/2]^2 (2) 将中线长公式：4ma^2=2b^2+2c^2-a^2代入(2), 得 ∑bc(2b^2+2c^2-a^2)≥(∑a^2)^2 即 2(∑bc)(∑a^2)-3abc∑a≥(∑a^2)^2 亦即 (∑a^2)(2∑bc-∑a^2)-3abc∑a≥0。
   (3) 由已知恒等式：∑a=2s,∑bc=s^2+4Rr+r^2,∑a^2=2(s^2-4Rr-r^2),abc=4Rrs, 及Gerretsen不等式:s^2≥16Rr-5r^2和Euler不等式：R≥2r,知 (3)的左边=2(s^2-4Rr-r^2)*4(4Rr+r^2)-24Rrs^2 =8[(R+r)s^2-(4R+r)^2r]r ≥8[(R+r)(16Rr-5r^2)-(4R+r)^2r]r =8[(R+r)(16R-5r)-(4R+r)^2]r^2 =24(R-2r)r^3 ≥0, 因此，不等式(3)成立，从而不等式(1)成立。
   。收起