比较线段的长短求证直角三角形斜边
求证直角三角形斜边上的中线大于或等于直角的角平分线
如图
设Rt△ABC中，∠C=90° ，AB=c、BC=a，AC=b。点D为AB中点，点E在AB上且CE为∠C平分线
求证：CD≥CE
由勾股定理得到：c=√(a^2+b^2)
而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以：
CD=c/2=√(a^2+b^2)/2
已知CE为∠C平分线，所以由角平分线定理有：AE/BE=AC/BC=b/a
所以，BE=(a/b)*AE
而，BE+AE=AB=c
所以：(a/b)*AE+AE=[(a+b)/b]*AE=c
所以，AE=bc/(a+b)
那么，在△ACE中由余弦定理有：CE^2=AC^2+AE...全部
求证直角三角形斜边上的中线大于或等于直角的角平分线
如图
设Rt△ABC中，∠C=90° ，AB=c、BC=a，AC=b。点D为AB中点，点E在AB上且CE为∠C平分线
求证：CD≥CE
由勾股定理得到：c=√(a^2+b^2)
而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以：
CD=c/2=√(a^2+b^2)/2
已知CE为∠C平分线，所以由角平分线定理有：AE/BE=AC/BC=b/a
所以，BE=(a/b)*AE
而，BE+AE=AB=c
所以：(a/b)*AE+AE=[(a+b)/b]*AE=c
所以，AE=bc/(a+b)
那么，在△ACE中由余弦定理有：CE^2=AC^2+AE^2-2AC*AE*cos∠A
=b^2+[(bc)^2/(a+b)^2]-2*b*[(bc)/(a+b)]*(b/c)
=b^2+[b^2c^/(a+b)^2]-2b^3/(a+b)
=[b^2/(a+b)^2]*[(a+b)^2+c^2-2b(a+b)]
=[b^2/(a+b)^2]*[a^2+b^2+2ab+(a^2+b^2)-2ab-2b^2]
=[b^2/(a+b)^2]*(2a^2)
=(2a^2b^2)/(a+b)^2
那么，CD^2-CE^2=(a^2+b^2)/4-2a^2b^2/(a+b)^2
=[(a^2+b^2)*(a+b)^2-8a^2b^2]/[4(a+b)^2]………………（*）
因为：(a-b)^2=a^2+b^2-2ab≥0（当且仅当a=b时取等号）
所以，a^2+b^2≥2ab…………………………………………（1）
同理：(√a-√b)^2=a+b-2√ab≥0
所以，a+b≥2√ab
所以，(a+b)^2≥4ab…………………………………………（2）
将(1)(2)代入(*)得到：
CD^2-CE^2≥[2ab*4ab-8a^2b^2]/[4(a+b)^2]=0
所以，CD^2≥CE
即，CD≥CE
【当且仅当a=b，即△ABC为等腰直角三角形时取等号。
此时CD、CE重合】。收起
