一道高数题目
【方法一,利用参数方程】记y'=sinht,则y=cosht,dx=dy/y'=(sinhtdt)/sinht=dt,所以x=t-c,
即y=cosh(x+c),由y(0)=1,可得c=0,即y=coshx=[e^x+e^(-x)]/2。
【方法二,利用分离变量和双曲函数代换】y'=√(y^2-1),分离变量,再积分∫[1/√(y^2-1)]dy=∫dx,
令y=cosht,则得t=x+c,
即y=cosh(x+c),由y(0)=1,可得c=0,即y=coshx=[e^x+e^(-x)]/2。
【方法三,利用分离变量及三角函数代换】如果对双曲函数一点都不知道,那么令y=sect,
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【方法一,利用参数方程】记y'=sinht,则y=cosht,dx=dy/y'=(sinhtdt)/sinht=dt,所以x=t-c,
即y=cosh(x+c),由y(0)=1,可得c=0,即y=coshx=[e^x+e^(-x)]/2。
【方法二,利用分离变量和双曲函数代换】y'=√(y^2-1),分离变量,再积分∫[1/√(y^2-1)]dy=∫dx,
令y=cosht,则得t=x+c,
即y=cosh(x+c),由y(0)=1,可得c=0,即y=coshx=[e^x+e^(-x)]/2。
【方法三,利用分离变量及三角函数代换】如果对双曲函数一点都不知道,那么令y=sect,
则x=0 ===> y=1 ===> t=0
∫[1/√(y^2-1)]dy=∫dx,可化为
∫sectdt=∫dx ===> ln|sect+tant|=x+c
“x=0,t=0” ===> c=0
===> sect+tant=e^x
===> y+√(y^2-1)=e^x
===> y=[e^x+e^(-x)]/2。
【注】双曲函数是工程上使用得和三角函数一样广泛的函数,在复变函数里,它类似于三角函数。
和差公式、倍角公式、勾股关系、求导公式、积分公式,都与三角函数互相对应,海外微积分教材对此介绍是相当详细的。
解法三就是中国数学教学最喜欢的舍简就繁的牛人技巧牛角尖。相比较,双曲函数就显得:太平凡,太平淡,太乏味。
。收起