数学

矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形

已知：矩形ABCD中，∠BAD的平分线分别交∠ABC的平分线与∠ADC的平分线于点E、F，∠BCD的平分线分别交∠ADC的平分线与∠ABC的平分线于点G、H。 求证：四边形EFGH是正方形。 证明：∵∠BAE=(1/2)∠BAD,∠ABE=(1/2)∠ABC,而∠BAD=∠ABC=90度, ∴∠BAE=∠ABE=45度， ∴∠AEB=180度-(∠BAE+∠ABE)=90度。 ∴∠FEH=90度。 同理可证：∠EFG=∠FGH=90度。 ∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形) 在△BCH中， ∵∠HBC=(1/2)∠ABC=45度=(1/2)∠BCD=∠BCH, ∴...全部

  已知：矩形ABCD中，∠BAD的平分线分别交∠ABC的平分线与∠ADC的平分线于点E、F，∠BCD的平分线分别交∠ADC的平分线与∠ABC的平分线于点G、H。 求证：四边形EFGH是正方形。
   证明：∵∠BAE=(1/2)∠BAD,∠ABE=(1/2)∠ABC,而∠BAD=∠ABC=90度, ∴∠BAE=∠ABE=45度， ∴∠AEB=180度-(∠BAE+∠ABE)=90度。
   ∴∠FEH=90度。 同理可证：∠EFG=∠FGH=90度。 ∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形) 在△BCH中， ∵∠HBC=(1/2)∠ABC=45度=(1/2)∠BCD=∠BCH, ∴BH=CH。
   在△ABE和△DGC中， ∵∠GCD=(1/2)∠BCD=45度=(1/2)∠ADC=∠CDG,∠BAE=∠ABE=45度, ∴∠GCD=∠CDG=∠BAE=∠ABE。 又AB=CD, ∴△ABE≌△DGC(a。
  s。a。) ∴BE=CG。 ∴BH-BE=CH-CG,即EH=EF。 ∴矩形EFGH是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形), 即四边形EFGH是正方形。 。收起