矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形
已知：矩形ABCD中，∠BAD的平分线分别交∠ABC的平分线与∠ADC的平分线于点E、F，∠BCD的平分线分别交∠ADC的平分线与∠ABC的平分线于点G、H。
求证：四边形EFGH是正方形。
证明：∵∠BAE=(1/2)∠BAD,∠ABE=(1/2)∠ABC,而∠BAD=∠ABC=90度,
∴∠BAE=∠ABE=45度，
∴∠AEB=180度-(∠BAE+∠ABE)=90度。
∴∠FEH=90度。
同理可证：∠EFG=∠FGH=90度。
∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
在△BCH中，
∵∠HBC=(1/2)∠ABC=45度=(1/2)∠BCD=∠BCH,
∴...全部
已知：矩形ABCD中，∠BAD的平分线分别交∠ABC的平分线与∠ADC的平分线于点E、F，∠BCD的平分线分别交∠ADC的平分线与∠ABC的平分线于点G、H。
求证：四边形EFGH是正方形。
证明：∵∠BAE=(1/2)∠BAD,∠ABE=(1/2)∠ABC,而∠BAD=∠ABC=90度,
∴∠BAE=∠ABE=45度，
∴∠AEB=180度-(∠BAE+∠ABE)=90度。
∴∠FEH=90度。
同理可证：∠EFG=∠FGH=90度。
∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
在△BCH中，
∵∠HBC=(1/2)∠ABC=45度=(1/2)∠BCD=∠BCH,
∴BH=CH。
在△ABE和△DGC中，
∵∠GCD=(1/2)∠BCD=45度=(1/2)∠ADC=∠CDG,∠BAE=∠ABE=45度,
∴∠GCD=∠CDG=∠BAE=∠ABE。
又AB=CD,
∴△ABE≌△DGC(a。
s。a。)
∴BE=CG。
∴BH-BE=CH-CG,即EH=EF。
∴矩形EFGH是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形),
即四边形EFGH是正方形。
。收起
