证明积分等式
这道题用一元函数的知识也能做，但没有山路水桥老师的二元函数积分法那么简洁。解答如下：
因为 f 是连续函数，故存在连续可导的原函数 F。因此，
左边=∫[F(u)-F(0)]du
````=∫F(u)du-xF(0)
右边=∫xf(u)du-∫uf(u)du
````=x[F(x)-F(0)]-∫u·dF(u) 【使用分部积分】
````=xF(x)-xF(0)-xF(x)+∫F(u)du
````=∫F(u)du-xF(0)
````=左边
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根据大侠的要求，补上另外一个证明：设左边...全部
这道题用一元函数的知识也能做，但没有山路水桥老师的二元函数积分法那么简洁。解答如下：
因为 f 是连续函数，故存在连续可导的原函数 F。因此，
左边=∫[F(u)-F(0)]du
````=∫F(u)du-xF(0)
右边=∫xf(u)du-∫uf(u)du
````=x[F(x)-F(0)]-∫u·dF(u) 【使用分部积分】
````=xF(x)-xF(0)-xF(x)+∫F(u)du
````=∫F(u)du-xF(0)
````=左边
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根据大侠的要求，补上另外一个证明：设左边的函数为 F(x)，右边函数为 G(x)。
则对 F,G 求导后有
F'(x)=∫f(t)dt
G'(x)=[x∫f(u)du]'-[∫uf(u)du]'
`````=∫f(u)du+xf(x)-xf(x)
`````=∫f(u)du
可见，F'=G'，所以 F(x)=G(x)+C。
又因为 F(0)=G(0)=0，故 C=0。因此，F=G。收起
