证明积分等式
全部回答
这道题用一元函数的知识也能做，但没有山路水桥老师的二元函数积分法那么简洁。解答如下：
因为 f 是连续函数，故存在连续可导的原函数 F。因此，
左边=∫[F(u)-F(0)]du
````=∫F(u)du-xF(0)
右边=∫xf(u)du-∫uf(u)du
````=x[F(x)-F(0)]-∫u·dF(u) 【使用分部积分】
````=xF(x)-xF(0)-xF(x)+∫F(u)du
````=∫F(u)du-xF(0)
````=左边
=====================================================
根据大侠的要求，补上另外一个证明：设左边的函数为 F(x)，右边函数为 G(x)。
则对 F,G 求导后有 F'(x)=∫f(t)dt G'(x)=[x∫f(u)du]'-[∫uf(u)du]' `````=∫f(u)du+xf(x)-xf(x) `````=∫f(u)du 可见，F'=G'，所以 F(x)=G(x)+C。
又因为 F(0)=G(0)=0，故 C=0。 因此，F=G。
则对 F,G 求导后有 F'(x)=∫f(t)dt G'(x)=[x∫f(u)du]'-[∫uf(u)du]' `````=∫f(u)du+xf(x)-xf(x) `````=∫f(u)du 可见，F'=G'，所以 F(x)=G(x)+C。
又因为 F(0)=G(0)=0，故 C=0。 因此，F=G。
热点推荐
热度TOP
-
-
广州人流去玛莱医院好不好？
453人阅读
-
做爱后阴道出血是怎么回事？
41人阅读
-
什么是“混合牙列期”？
197人阅读
-
义乌哪家男科比较好，义乌常春怎么样？
40人阅读
-
成都哪家医院做人流好选棕南?
48人阅读
相关推荐
加载中...