急求抽象函数题的解答
已知f(x+1)的定义域是[-1，2] 求f(x-1)的定义域
问：1大于等于-1小于等于2是指x还是x+1
2请给出解题过程
标准答案是：
大于等于-1小于等于2是指x
解:因为X大于等于-1小于等于2
所以x+1大于等于0小于等于3
因为f(x+1)与f(x-1)位置相同
所以f(x-1)的定义域是大于等于0小于等于3
我搞不明白的是：如果f(x+1)的定义域是指x，同理f(x-1)的定义域也应指x。
如果f(x+1)中x，与f(x-1)中的x是一个x的话，那么f(x-1)的定义域也应是[-1，2]。如果两个x不是一回事，那末f(x+1)中的x与中的f(x-1) 中的x有什么联系？具体的联系解析式又是什么？
抽象函数太抽象我实在学了个稀里糊涂，诚恳各位高手，从根上（基础）指点迷津。
另：如果f(x)=y,求f(x+3)的反函数？应该怎么做？
。
全部回答
当然,如果f(x+1)的定义域是指x，则f(x-1)的定义域也应指x。
这是已知一个复合函数的定义域,求另一个复合函数定义域的问题。
设函数f(x+1)=f(u), u=g(x)=x+1, ∵ f(x+1)=f(u)的定义域是[-1，2],即-1≤x≤2, ∴ 0≤x+1≤3,即内函数的值域是u∈[0,3],
∴ 外函数f(u)的定义域是[0,3]。
再设函数f(x-1)=f(u), u=h(x)=x-1, ∵ f(u)的定义域是[0,3],即 0≤x-1≤3, ∴ 1≤x≤4,即函数f(u)=f(x-1)的定义域是x∈[1,4]。
函数f(x)=y的反函数是y=f^(-1)(x),设t=x+3, 则x=t-3, 即y=f(t)的反函数是y=f^(-1)(t-3)。 ∵ 自变量一般用x表示,因变量一般用y表示, ∴ f(x+3)的反函数是y=f^(-1)(x-3)。
也可以这样考虑:函数f(x)=y的反函数是y=f^(-1)(x),它们的图象关于直线y=x对称。 ∵ 把y=f(x)的图象向左平移3个单位就得y=f(x+3)的图象,它与它的反函数的图象也关于直线y=x对称。
∴ 要把函数y=f^(-1)(x)的图象向右平移3个单位,得y=f^(-1)(x-3 ),这就是f(x+3)的反函数,例如,设f(x)=2^x,如下图所示(点击放大图片) 。
再设函数f(x-1)=f(u), u=h(x)=x-1, ∵ f(u)的定义域是[0,3],即 0≤x-1≤3, ∴ 1≤x≤4,即函数f(u)=f(x-1)的定义域是x∈[1,4]。
函数f(x)=y的反函数是y=f^(-1)(x),设t=x+3, 则x=t-3, 即y=f(t)的反函数是y=f^(-1)(t-3)。 ∵ 自变量一般用x表示,因变量一般用y表示, ∴ f(x+3)的反函数是y=f^(-1)(x-3)。
也可以这样考虑:函数f(x)=y的反函数是y=f^(-1)(x),它们的图象关于直线y=x对称。 ∵ 把y=f(x)的图象向左平移3个单位就得y=f(x+3)的图象,它与它的反函数的图象也关于直线y=x对称。
∴ 要把函数y=f^(-1)(x)的图象向右平移3个单位,得y=f^(-1)(x-3 ),这就是f(x+3)的反函数,例如,设f(x)=2^x,如下图所示(点击放大图片) 。
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