已知： 三角形ABC中 ∠A：∠B：∠C=1:2:4 求证：1/AB+1/AC=1/BC
分析：
这是个比例问题，把1/AB+1/AC=1/BC化成（AB+AC）/AB*AC=1/BC，。作出（AB+AC），。就可转化为四条线段的比例关系去证了！
也可根据条件中角的倍半关系作出角平分线后用三角形内角平分线性质去证。
当然也可用三角函数去解。等会我把平几方法打上来。
证一：
如图，作角平分线CD，延长CB到E使BE=BD，
∵ ∠ACD=∠BCD=∠ABC，
∴CD=BD=BE, ∴∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，∴BC/AB=CD/AC ，
又△ACD≌△ECD，得AC=CE,
∴BC/AB+BC/AC=CD/AC+BC/AC=(CD+BC)/AC=CE/AC...全部
分析：
这是个比例问题，把1/AB+1/AC=1/BC化成（AB+AC）/AB*AC=1/BC，。作出（AB+AC），。就可转化为四条线段的比例关系去证了！
也可根据条件中角的倍半关系作出角平分线后用三角形内角平分线性质去证。
当然也可用三角函数去解。等会我把平几方法打上来。
证一：
如图，作角平分线CD，延长CB到E使BE=BD，
∵ ∠ACD=∠BCD=∠ABC，
∴CD=BD=BE, ∴∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，∴BC/AB=CD/AC ，
又△ACD≌△ECD，得AC=CE,
∴BC/AB+BC/AC=CD/AC+BC/AC=(CD+BC)/AC=CE/AC=1,
∴1/AB+1/AC=1/BC
证二：
A+B+C=π
得：A=π/7，B=2π/7,C=4π/7
由正弦定理：AB/sinC=BC/sinA=AC/sinB=2R(外接圆 直径)
1/AB=1/(2RsinC),1/BC=1/(2RsinA),1/AC=1/(2RsinB)
1/AB+1/AC=1/(2R)*(1/sinC+1/sinB)
1/BC=1/(2R)*(1/sinA)
下面证：1/sinB+1/sinC=1/sinA 。
。。(1)
即：sinAsinC+sinAsinB=sinBsinC
因为：sinAsinC+sinAsinB
=sin(π/7)sin(4π/7)+sin(π/7)sin(2π/7)
=-1/2*[cos(5π/7)-cos(3π/7)]-1/2*[cos(3π/7)-cos(π/7)](积化和差)
=-1/2[cos(5π/7)-cos(π/7)]
=sin(3π/7)sin(2π/7) (和差化积)
=sin(4π/7)sin(2π/7)
=sinBsinC
故(1)式成立。
故原式成立。
证三：
。收起
