数学题 三个互不重合的平面能把空间分成n个部分

n个平面能把空间分成几部分?要通式

解: (1)先来解决一个问题：n条直线最多把平面分成几个部分呢？不妨记为f(n),易得f(1)=2,f(2)=4,f(3)=7,第n条直线与前n-1条直线两两相交，有n-1个交点，这n-1个交点最多把第n条直线分成n段，这样第n条直线就把原来的平面多分成了n个部分，所以有 f(n)=f(n-1)+n (n>=2)通过计算求得 f(n)=n(n+1)/2+1=C(n+1,2)+1 -----(I) (2)设n个平面最多能把空间分成g(n)部分,易得 g(1)=2 g(2)=4 g(3)=8 g(4)=15 第n个平面与前面n-1平面两两相交，有n-1条直线，这n-1条直线最多把第n个...全部

  解: (1)先来解决一个问题：n条直线最多把平面分成几个部分呢？不妨记为f(n),易得f(1)=2,f(2)=4,f(3)=7,第n条直线与前n-1条直线两两相交，有n-1个交点，这n-1个交点最多把第n条直线分成n段，这样第n条直线就把原来的平面多分成了n个部分，所以有 f(n)=f(n-1)+n (n>=2)通过计算求得 f(n)=n(n+1)/2+1=C(n+1,2)+1 -----(I) (2)设n个平面最多能把空间分成g(n)部分,易得 g(1)=2 g(2)=4 g(3)=8 g(4)=15 第n个平面与前面n-1平面两两相交，有n-1条直线，这n-1条直线最多把第n个平面分成 f(n-1)个部分，每一部分就把原来的空间多分成了一部分，所以有 g(n)=g(n-1)+f(n-1) n>=2 -----(II) 利用递推公式（II)公式（I）可得： g(n)=g(1)+f(1)+f(2)+…+f(n-1) =C(2,2)+C(3,2)+…+C(n,2)+n+1 =C(3,3)+C(3,2)+…+C(n,2)+n+1 =C(4,3)+C(4,2)+…+C(n,2)+n+1 … =C(n+1,3)+n+1 。
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