立体几何如图OAOBOC两两成
如图所示：
作AH⊥面ABC于H, ∵ ∠AOB=∠AOC=60°, ∴ H在∠BOC的平分线OH上,作HE⊥OB于E,HF⊥OC于F,则HE=HF。 由三余弦定理cos∠AOB=cos∠AOHcos∠BOH, ∴ cos∠AOH=√3/3。 ∵ OC=t, 由余弦定理AC^=BC^=t^-t+1,D为AB的中点,CD⊥AB, 由勾股定理CD^=(t-1/2)^+1/2, CD=√[^=(t-1/2)^+1/2],△ABC的面积=(AB×CD)/2=√[(t-1/2)^+1/2]/2。
△OBC的面积=(1/2)×(OB×OC)sin60°=√3t/4,OH=OAsin30°=1/...全部
如图所示：
作AH⊥面ABC于H, ∵ ∠AOB=∠AOC=60°, ∴ H在∠BOC的平分线OH上,作HE⊥OB于E,HF⊥OC于F,则HE=HF。 由三余弦定理cos∠AOB=cos∠AOHcos∠BOH, ∴ cos∠AOH=√3/3。
∵ OC=t, 由余弦定理AC^=BC^=t^-t+1,D为AB的中点,CD⊥AB, 由勾股定理CD^=(t-1/2)^+1/2, CD=√[^=(t-1/2)^+1/2],△ABC的面积=(AB×CD)/2=√[(t-1/2)^+1/2]/2。
△OBC的面积=(1/2)×(OB×OC)sin60°=√3t/4,OH=OAsin30°=1/2,HE=HF=OHcos∠EOH=(1/2)×(√3/3)=√3/6。 △OEH的面积=√3/12, △OFH的面积=√3t/12, ∴ △BHC的面积=(√3t/4)-(√3t/12)-(√3/12)=(√3/6)(t-1/2)。
设二面角A-BC-O的度数=Φ,则由面积射影定理,得cosΦ=△BHC的面积/△ABC的面积=(√3/3)(t-1/2)/√[(t-1/2)^+1/2]=(√3/3)/√[1+1/2(t-1/2)^], ∵ t>1/2 ,∴ 1/2(t-1)^>0, √[1+1/(t-1/2)^]>1, ∴ 0<(√3/3)/√[1+1/2(t-1/2)^]<(√3/3), ∴ arccos(√3/3)<Φ<π/2, 即二面角A-BC-O 的取值范围是(arccos√3/3,π/2)。
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