高考数学函数问题已知定义在R上的
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(1)
取x=1,y=0有:f(1)f(0)=f(1)+f(1),又f(1)=2。5,则f(0)=2
取x=0有:f(0)f(y)=f(y)+f(-y)=2f(y)得:f(y)=f(-y)对任意的实数y成立,故f(x)是偶函数。
(2)
由于An=2f(n+1)-f(n),(n=1,2,3,…)
我们考虑A(n+2)*An=[2f(n+3)-f(n+2)]*[2f(n+1)-f(n)]=4f(n+3)f(n+1)-2f(n+3)f(n)-2f(n+2)f(n+1)+f(n+2)f(n)=4f(2n+4)+4f(2)-2f(2n+3)-2f(3)-2f(2n+3...全部
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(1)
取x=1,y=0有:f(1)f(0)=f(1)+f(1),又f(1)=2。5,则f(0)=2
取x=0有:f(0)f(y)=f(y)+f(-y)=2f(y)得:f(y)=f(-y)对任意的实数y成立,故f(x)是偶函数。
(2)
由于An=2f(n+1)-f(n),(n=1,2,3,…)
我们考虑A(n+2)*An=[2f(n+3)-f(n+2)]*[2f(n+1)-f(n)]=4f(n+3)f(n+1)-2f(n+3)f(n)-2f(n+2)f(n+1)+f(n+2)f(n)=4f(2n+4)+4f(2)-2f(2n+3)-2f(3)-2f(2n+3)-2f(1)+f(2n+2)+f(2)=4f(2n+4)-4f(2n+3)+f(2n+2)+5f(2)-2f(3)-2f(1)
(A(n+1))^2=[2f(n+2)-f(n+1)]^2=4f(n+2)f(n+2)-4f(n+2)f(n+1)+f(n+1)f(n+1)=4f(2n+4)+4f(0)-4f(2n+3)-4f(1)+f(2n+2)+f(0)=4f(2n+4)-4f(2n+3)+f(2n+2)+5f(0)-4f(1)
由于f(0)=2,f(1)=5/2,f(2)=17/4,f(3)=65/8,则5f(2)-2f(3)-2f(1)=0,5f(0)-4f(1)=0
所以A(n+2)*An=(A(n+1))^2对一切正整数都成立，即数列{An}是等比数列
(3)
由(2)知：数列{2f(n+1)-f(n)}为等比数列,又首项A1=2f(2)-f(1)=6,A2=2f(3)-f(2)=12,则公比是2,则An=3*2^n
也即2f(n+1)-f(n)=3*2^n
f(n+1)-2^(n+1)=(1/2)*[f(n)-2^n],则{f(n)-2^n}是以f(1)-2=1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
于是f(n)-2^n=(1/2)^n
即f(n)=2^n+(1/2)^n,(n=1,2,3,…)
如果X1,X2是整数，且满足|X1|2
从而f(1/n)>2,我们可以用数学归纳法来证明：
f(m/n)0
f(3/n)-f(2/n)=[f(1/n)]^3-[f(1/n)]^2-3f(1/n)+2
=[f(1/n)-2]{[f(1/n)]^2+f(1/n)-1}>0
f(4/n)-f(3/n)=[f(1/n)]^4-[f(1/n)]^3-4[f(1/n)]^2+3f(1/n)+2
=[f(1/n)-2]{[f(1/n)]^3+[f(1/n)]^2-2f(1/n)-1}>0
f(5/n)-f(4/n)=[f(1/n)]^5-[f(1/n)]^4-5[f(1/n)]^3+4[f(1/n)]^2+5f(1/n)-2
=[f(1/n)-2]{[f(1/n)]^4+f(1/n)]^3-3[f(1/n)]^2-2f(1/n)+1}>0
假设当m=k-1时(k≥5)，命题成立，即f[(k-1)/n]2
则上面的式子是关于t的二次函数
首项f[(k-1)/n]>0，对称轴{1+f[(k-2)/n]/f[(k-1)/n]}/20，即二次函数在t=2的函数值>0
再者自变量t>2，由于对称轴t2时，二次函数的函数值恒>0
也就是说f[(k+1)/n]-f(k/n)=f[(k-1)/n]*[f(1/n)]^2-{f[(k-2)/n]+f[(k-1)/n]}*f(1/n)+f[(k-2)/n]-f[(k-1)/n]>0
这也就是我们所要证明的m=k+1时的情形
故对所有正整数m，n都有f(m/n) 收起
