几何问题几何问题在ΔABC中,A
几何问题
在ΔABC中,AB=AC,∠BAC=80°,在P是ΔABC内部一点, 且∠PCB=30°,∠PBC=10°, 求∠APB。
下面运用三种不同的轴反射变换,来证明上述命题。
证法(一) 设L是等腰ΔABC的对称轴,延长CP交对称轴L于D,连BD。显然ΔDBC是等腰三角形,
所以∠PBD=∠PCB-∠PBC=20°。
又∠DBA=∠CBA-∠CBD=(180°-80°)/2-30°=20°。
∠BPD=∠PCB+∠PBC=40°,∠BAD=∠BAC/2=40°。
故 △BDP≌△BDA,即AB=BP,ΔABP是等腰三角形,顶角∠ABP=40°。
故∠APB=(180°-40°...全部
几何问题
在ΔABC中,AB=AC,∠BAC=80°,在P是ΔABC内部一点, 且∠PCB=30°,∠PBC=10°, 求∠APB。
下面运用三种不同的轴反射变换,来证明上述命题。
证法(一) 设L是等腰ΔABC的对称轴,延长CP交对称轴L于D,连BD。显然ΔDBC是等腰三角形,
所以∠PBD=∠PCB-∠PBC=20°。
又∠DBA=∠CBA-∠CBD=(180°-80°)/2-30°=20°。
∠BPD=∠PCB+∠PBC=40°,∠BAD=∠BAC/2=40°。
故 △BDP≌△BDA,即AB=BP,ΔABP是等腰三角形,顶角∠ABP=40°。
故∠APB=(180°-40°)/2=70°。
证法(二) 以CP为对称轴,对轴反射变换,设B→B',则△BCB'为正三角形,连BB',AB',CB'。因为BB'=CB',AB=AC,所以直线B'A是BC的中垂线,从而∠BB'A=30°=∠PCB。
又由于∠ABB'=∠CBB'-∠CBA=60°-(180°-80°)/2=10°=∠PBC。
于是△BB'A≌△BCP,故AB=BP,ΔABP是等腰三角形,顶角∠ABP=40°。
所以∠APB=(180°-40°)/2=70°。
证法(三) 以BC为对称轴,对轴反射变换,设P→Q,则△CPQ为正三角形,连BQ,CQ,AQ。故得:∠QPC=60°,PQ=PC。
又∠BQC=∠BPC=180°-30°-10°=140°。
而∠BAC=80°,所以(360°-∠BAC)/2=∠BQC。
于是点Q在以A为圆心,AB为半径的圆上。
所以AQ=AC,从而AP为QC的中垂线。
由此知∠CPA=(360°-60°)/2=150°,
故∠APB=360°-140°-150°=70°。
以上三种证法仅供参考。收起