几何问题
几何问题在ΔABC中,AB=AC,∠BAC=80°,在P是ΔABC内部一点, 且∠PCB=30°,∠PBC=10°, 求∠APB。
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几何问题
在ΔABC中,AB=AC,∠BAC=80°,在P是ΔABC内部一点, 且∠PCB=30°,∠PBC=10°, 求∠APB。
下面运用三种不同的轴反射变换，来证明上述命题。
证法(一) 设L是等腰ΔABC的对称轴,延长CP交对称轴L于D，连BD。 显然ΔDBC是等腰三角形， 所以∠PBD=∠PCB-∠PBC=20°。 又∠DBA=∠CBA-∠CBD=(180°-80°)/2-30°=20°。
∠BPD=∠PCB+∠PBC=40°,∠BAD=∠BAC/2=40°。 故 △BDP≌△BDA,即AB=BP，ΔABP是等腰三角形，顶角∠ABP=40°。 故∠APB=(180°-40°)/2=70°。
证法(二) 以CP为对称轴，对轴反射变换，设B→B'，则△BCB'为正三角形，连BB'，AB'，CB'。因为BB'=CB',AB=AC,所以直线B'A是BC的中垂线,从而∠BB'A=30°=∠PCB。
又由于∠ABB'=∠CBB'-∠CBA=60°-(180°-80°)/2=10°=∠PBC。 于是△BB'A≌△BCP,故AB=BP，ΔABP是等腰三角形，顶角∠ABP=40°。
所以∠APB=(180°-40°)/2=70°。 证法(三) 以BC为对称轴，对轴反射变换，设P→Q，则△CPQ为正三角形，连BQ，CQ，AQ。故得:∠QPC=60°,PQ=PC。 又∠BQC=∠BPC=180°-30°-10°=140°。
而∠BAC=80°,所以(360°-∠BAC)/2=∠BQC。 于是点Q在以A为圆心,AB为半径的圆上。 所以AQ=AC,从而AP为QC的中垂线。 由此知∠CPA=(360°-60°)/2=150°, 故∠APB=360°-140°-150°=70°。
以上三种证法仅供参考。
证法(一) 设L是等腰ΔABC的对称轴,延长CP交对称轴L于D，连BD。 显然ΔDBC是等腰三角形， 所以∠PBD=∠PCB-∠PBC=20°。 又∠DBA=∠CBA-∠CBD=(180°-80°)/2-30°=20°。
∠BPD=∠PCB+∠PBC=40°,∠BAD=∠BAC/2=40°。 故 △BDP≌△BDA,即AB=BP，ΔABP是等腰三角形，顶角∠ABP=40°。 故∠APB=(180°-40°)/2=70°。
证法(二) 以CP为对称轴，对轴反射变换，设B→B'，则△BCB'为正三角形，连BB'，AB'，CB'。因为BB'=CB',AB=AC,所以直线B'A是BC的中垂线,从而∠BB'A=30°=∠PCB。
又由于∠ABB'=∠CBB'-∠CBA=60°-(180°-80°)/2=10°=∠PBC。 于是△BB'A≌△BCP,故AB=BP，ΔABP是等腰三角形，顶角∠ABP=40°。
所以∠APB=(180°-40°)/2=70°。 证法(三) 以BC为对称轴，对轴反射变换，设P→Q，则△CPQ为正三角形，连BQ，CQ，AQ。故得:∠QPC=60°,PQ=PC。 又∠BQC=∠BPC=180°-30°-10°=140°。
而∠BAC=80°,所以(360°-∠BAC)/2=∠BQC。 于是点Q在以A为圆心,AB为半径的圆上。 所以AQ=AC,从而AP为QC的中垂线。 由此知∠CPA=(360°-60°)/2=150°, 故∠APB=360°-140°-150°=70°。
以上三种证法仅供参考。
解：
AB=AC,∠BAC=80°=> ∠ABC=∠ACB=50°
作等边△ABD(C、D在AB的同侧),连结CD、PD
有∠ABD=∠BAD=60°=> ∠DAC=80°-60°=20°
AB=BD=AD=AC => ∠ACD=∠ADC=(180°-20°)/2=80°
=> ∠DCB=∠ACD-∠ACB=80°-50°=30°=∠PCB
又∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°-50°=10°=∠PBC
又BC=BC => △DBC≌△PBC(ASA) => BP=BD=AB
∠ABP=∠ABC-∠PBC=50°-10°=40°
=> ∠PAB=∠APB=(180°-40°)/2=70° 。
。
。
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