数学难题-1昨天与德雷纳特探讨此
命题: 最大角不大于120度的三角形的三条中线组成的三角形，它的外接圆半径大于原三角形外接圆半径的7/(6√3),此系数为最佳。
证明 设最大角不大于120度的三角形ABC的三边长分别为a,b,c，相对应的中线分别为ma,mb,mc，令R,S为最大角不大于120度的三角形ABC的外接圆半径和面积。 而以三角形ABC三中线组成的三角形的面积为3S/4。根据三角形恒等式:abc=4R*S，故只需证明:
(8*√3)ma*mb*mc>7*a*b*c (1)
即 192*(ma*mb*mc)^2>49(a*b*c)^2 (2)
据三角形中线公式:
4*(ma)^2=2b^...全部
命题: 最大角不大于120度的三角形的三条中线组成的三角形，它的外接圆半径大于原三角形外接圆半径的7/(6√3),此系数为最佳。
证明 设最大角不大于120度的三角形ABC的三边长分别为a,b,c，相对应的中线分别为ma,mb,mc，令R,S为最大角不大于120度的三角形ABC的外接圆半径和面积。
而以三角形ABC三中线组成的三角形的面积为3S/4。根据三角形恒等式:abc=4R*S，故只需证明:
(8*√3)ma*mb*mc>7*a*b*c (1)
即 192*(ma*mb*mc)^2>49(a*b*c)^2 (2)
据三角形中线公式:
4*(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2，4*(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2，4*(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2，所以(2)式等价于
3*(2b^2+2c^2-a^2)*( 2c^2+2a^2-b^2)*( 2a^2+2b^2-c^2)> 49(a*b*c)^2 (3)
(3)式展开整理等价于:
-6*(a^6+b^6+c^6)+9*a^4*(b^2+c^2)+9*a^2*(b^4+c^4)+9*b^2*c^2*(b^2+c^2)-20*(a*b*c)^2>0， (4)
(4)式是全对称的，不失一般性，设a=max(a,b,c)，则据余弦定理得b^2+c^2+b*c-a^2>=0，(4)式化简整理等价于:
6*(b^2+c^2+b*c-a^2)*(a^2-b^2)*(a^2-c^2)+[3*a^2*(b^2+c^2+2*b*c)+3*b*c*(b^2+c^2)-3*b^4-3*c^4-4*b^2*c^2]*(b^2+c^2+b*c-a^2)+[9*a^2*(b^2+c^2+2*b*c)-3*b^4-3*c^4-2*b^2*c^2-6*b*c*(b^2+c^2)]*(b-c)^2>0, (5)
根据a=max(a,b,c)，则b^2+c^2+b*c-a^2>=0，显然知(5)式成立。
命题获证。
附上最后一步计算机验证:
expand(6*(b^2+c^2+b*c-a^2)*(a^2-b^2)*(a^2-c^2)+(3*a^2*(b^2+c^2+2*b*c)+3*b*c*(b^2+c^2)-3*b^4-3*c^4-4*b^2*c^2)*(b^2+c^2+b*c-a^2)+(9*a^2*(b^2+c^2+2*b*c)-3*b^4-3*c^4-2*b^2*c^2-6*b*c*(b^2+c^2))*(b-c)^2)=-6*(a^6+b^6+c^6)+9*a^4*(b^2+c^2)+9*a^2*(b^4+c^4)+9*b^2*c^2*(b^2+c^2)-20*(a*b*c)^2。
附上计算机验证最佳值:
cmax((2*(x+y)^2+2*(z+x)^2-(y+z)^2)*(2*(z+x)^2+2*(y+z)^2-(x+y)^2)*(2*(y+z)^2+2*(x+y)^2-(z+x)^2)-36*k*(y+z)^2*(z+x)^2*(x+y)^2>0,[-y*z+3*(x^2+x*y+x*z)>=0,y>x,z>x],k);
`OUTPUT RESULT:`
`The best possible maximal const `。
k。
` is a root of the following polynomial :`
108*k-49=0
`which is between £¨`, 1/3, `£¬`, 1/2, `£©`
。收起
