一道向量题

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2008-04-25

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    找到了：此题是一道物理题两个正电荷q1和q2在某直角坐标系下的位失分别为r1,r2(矢量），将一个负电荷q3置于某一位置，使三个电荷所受静电都为零。求q3的电量和位失r3 显然，q3位于q1和q2连线上 q1受力平衡--->kq1q2/|r2-r1|² = kq1q3/|r3-r1|² q2受力平衡--->kq2q1/|r2-r1|² = kq2q3/|r2-r3|² q2/|r2-r1|² = q3/|r3-r1|²。
    。。。。。。。(1) q1/|r2-r1|² = q3/|r2-r3|²。。。。。。。。(2) (1): (r3-r1)/(r2-r1) = √(q3/q2) 。
  。。。。。。 (3) (2): (r2-r3)/(r2-r1) = √(q3/q1) 。  。。。。。。
     (4) (3)+(4)：√(q3/q2)+√(q3/q1)=1 --->√(1/q3)=√(1/q2)+√(1/q1)=(√q1+√q2)/√(q1q2) --->√q3 = √(q1q2)/(√q1+√q2) --->q3 = q1q2/[(q1+q2)+2√(q1q2)] (3): (r3-r1) = (r2-r1)√(q3/q2) --->r3 = [1-√(q3/q2)]r1 + [√(q3/q2)]r2 　　　 = [1-√q1/(√q1+√q2)]r1 + [√q1/(√q1+√q2)]r2 　　　 = [√q2/(√q1+√q2)]r1 + [√q1/(√q1+√q2)]r2 　　　 = (r1√q2 + r2√q1)/(√q1+√q2)]。

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i***

2008-04-25

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    从图上知道,向量r1,r2,r3终点共线，所以存在k: 0q3=(1-k)^2q2, q1/|r2-r1|^2=q3/|r3-r2|^2=q3/[k^2*|r2-r1|^2] ---> q3=k^2q1。
   所以(1-k)^2|q2|=k^2|q1| --> (1-k)*根号{|q2|/|q1|)=k, k=根号{|q2|}/[根号{|q1|}+根号{|q1|}]。   所以q3=(根号{|q2|}/[根号{|q1|}+根号{|q1|}])^2q1 (或者 q3=(根号{|q1|}/[根号{|q1|}+根号{|q1|}])^2q2) r3=根号{|q2|}/[根号{|q1|}+根号{|q1|}])*r1+根号{|q1|}/[根号{|q1|}+根号{|q1|}])*r2。
     。

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1***

2006-05-11

一道高一数学证明题？请用向量来证明：三

  设三角形ABC,记向量AB为：{AB} （一般两条中线交于一点，不需要证。但证明也很简单。） 1。反证两条中线交于一点，设两条中线不交于一点==》两条中线平行。设BC，AC边的中线平行。
   ==》BC，AC边的中线上的非零向量平行， {AB}+{AC}，{BC}+{BA}，分别为BC，AC边的中线上的非零向量。则{AB}+{AC}=a[{BC}+{BA}]= =a[{AC}-2{AB}]==》 [1+2a}{AB}=[a-1]{AC}，由于{AB}，{AC}不平行，==》 1+2a=a-1=0无解==》矛盾==》两条中线交于一点。
   2。设BC，AC边的中线交于一点O。 ==》{AO}=a[{AB}+{AC}]， {BO}=b[{BC}+{BA}]=b[{AC}-2{AB}]= ={AO}-{AB}= =a[{AB}+{AC}]-{AB}==》 [a-1+2b]{AB}=[b-a]{AC} 由于{AB}，{AC}不平行，==》 a-1+2b=b-a=0==》 b=a=1/3。
   3。{CO}={AO}+{CA}=1/3[{AB}+{AC}]+{CA}= =1/3[{CB}-2{CA}]+{CA}=1/3[{CB}+{CA}]==》 {CO}是AB边的中线上的非零向量，==》 AB边的中线过O点。
  ==》三角形的三条中线交于一点。注：BC，AC，AB边的中线上的非零向量分别为： a[{AB}+{AC}]，b[{BC}+{BA}]，c[{CB}+{CA}]， a，b，c为非零实数。
   中线上的非零向量的表示方法是关键。。收起

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