三角形内接四边形面积问题-1

    试比较给定一三角形的最大内接矩形的面积与最大内接正方形的面积大小。 证明 设给定三角形ABC的边长分别为a,b,c，相对应的高线分别为ha,hb,hc，给定三角形ABC的面积为S。
  不妨设a>b>c，则hab>c条件下，求出最大内接矩形与最大内接正方形的面积。   (1)对于给定三角形的最大内接矩形的面积可如下求:设矩形长为x[与BC边重合]，宽为y，矩形的面积为S1。
  运用相似比可得: (ha-y)/x=ha/a x=a*(ha-y)/ha，所以 S1=y*a*(ha-y)/ha=-[1/(a*ha)]*[a^2*y^2-2*a*S*y] =-[1/(2*S)]*(a*y-S)^2+S^/2≤S/2。
     当y=S/a=ha/2，x=a/2时，S1的最大值为S/2。 所以给定三角形的最大内接矩形的面积为S/2，它共有三种形状，即(长,宽)=(a/2,ha/2);(长,宽)=(b/2,hb/2);(长,宽)=(c/2,hc/2)。
  注意这里长与宽相对而言。 (2)对于给定三角形的最大内接正方形的面积可如下求:设正方形边长为x，正方形的面积为S2。  运用相似比可得: (ha-x)/x=ha/a x=2*S/(a+ha)， 因为a>b>c，易证得:a+ha>b+hb>c+hc， 所以给定三角形的最大内接正方形的面积: S2=[2*S/(c+hc)]^2。
   (3)下面确定给定三角形ABC的最大内接矩形的面积与最大内接正方形的面积大小。   [2*S/(c+hc)]^2≤S/2 8*S≤(c+hc)^2 因为c^2+(hc)^2≥2*c*hc=4*S，所以8*S≤(c+hc)^2显然成立。
   当c=hc时等号成立。 。