几何求最小值
己知边长为2√3的正方形ABCD内有一点P，求PA+PB+PC值的最小值。
全部回答
解 就是求等腰直角△ABC的费马点问题。
以BC为边向等腰直角△ABC形外作正△BCE,
以AB为边向等腰直角△ABC形外作正△ABF。
连AE，CF，AE,CF交于P,该点就是PA+PB+PC最小值的点。
易证AE=CF=min(PA+PB+PC) 在△APB中，由余弦定理得: AE^2=AB^2+BE^2-2AB*BE*cos∠ ABE=12+12-24*cos150° =24+12√3=(√18+√6)^2=(3√2+√6)^2 故AE=3√2+√6。
因此PA+PB+PC的最小值为3√2+√6。 运用费马点结论可直接求: PA+PB+PC=√[(BC^2+CA^2+AB^2)/2+2√3*AB*BC] =√[(12+12+24)/2+12√3]=3√2+√6。
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易证AE=CF=min(PA+PB+PC) 在△APB中，由余弦定理得: AE^2=AB^2+BE^2-2AB*BE*cos∠ ABE=12+12-24*cos150° =24+12√3=(√18+√6)^2=(3√2+√6)^2 故AE=3√2+√6。
因此PA+PB+PC的最小值为3√2+√6。 运用费马点结论可直接求: PA+PB+PC=√[(BC^2+CA^2+AB^2)/2+2√3*AB*BC] =√[(12+12+24)/2+12√3]=3√2+√6。
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