已知a、b∈R+，且ab=2.求a/(2+b^2)+b/(2+a^2)的最小值。
已知ab=2
所以，a/(2+b^2)+b/(2+a^2)=a/(ab+b^2)+b/(ab+a^2)
=[a/b(a+b)]+[b/a(a+b)]
=(a^2+b^2)/[ab(a+b)]
=(a^2+b^2)/[2(a+b)]
=(1/2)*[(a^2+b^2)/(a+b)]
令f(a)=(a^2+b^2)/(a+b)=[a^2+(2/a)^2]/[a+(2/a)]
=(a^4+4)/(a^3+2a)
则，f'(a)=[4a^3*(a^3+2a)-(a^4+4)*(3a^2+2)]/(a^3+2a)^2
=(4a^6+8a^4-3a^6-2a^4-12a^2-8)/(a^3+2a)^2...全部
已知ab=2
所以，a/(2+b^2)+b/(2+a^2)=a/(ab+b^2)+b/(ab+a^2)
=[a/b(a+b)]+[b/a(a+b)]
=(a^2+b^2)/[ab(a+b)]
=(a^2+b^2)/[2(a+b)]
=(1/2)*[(a^2+b^2)/(a+b)]
令f(a)=(a^2+b^2)/(a+b)=[a^2+(2/a)^2]/[a+(2/a)]
=(a^4+4)/(a^3+2a)
则，f'(a)=[4a^3*(a^3+2a)-(a^4+4)*(3a^2+2)]/(a^3+2a)^2
=(4a^6+8a^4-3a^6-2a^4-12a^2-8)/(a^3+2a)^2
=(a^6+6a^4-12a^2-8)/(a^3+2a)^2
=[(a^6-8)+6a^2*(a^2-2)]/(a^3+2a)^2
=[(a^2-2)*(a^4+2a^2+4)+6a^2*(a^2-2)]/(a^3+2a)^2
=(a^2-2)*(a^4+8a^2+4)/(a^3+2a)^2
则，当f'(a)=0时，a=±√2
已知a∈R+
所以，a=√2
故，当a=b=√2时有最小值=(1/2)*[(a^2+b^2)/(a+b)]=√2/2。
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