已知圆x的平方+y的平方-2x-2y+1=0,点A（2a,0),A(0,2b),且a大于1，b大于1，o是坐标原点。当圆与直线相切时，（1）求直线AB中点的轨迹方程；（2）当圆与AB相切，且三角形AOB面积最小时，求直线AB的方程及面积最小值。
解:
(1)直线AB为x/2a+y/2b=1,即bx+ay-2ab=0;
由中点公式易得,AB中点为P(a,b);
将圆配方变换为(x-1)^2+(y-1)^2=1,即圆心(1,1),半径r=1。
因AB与圆相切,故
|b*1+a*1-2ab|/根(a^2+b^2)=1
--->ab(2ab+1-2a-2b)=0
因a>1,b>1,即ab>1>0,故上式除以ab得
2ab+1-2a-2b=0
--->(a-1)(b-1)=1/2
可见,AB中点轨迹是以圆心(1,1)为中心的双曲线的一支,
即所求轨迹方程为:(x-1)(y-1)=1/2。
(2)三角形AOB面和S=1/2*(2a)(...全部
解:
(1)直线AB为x/2a+y/2b=1,即bx+ay-2ab=0;
由中点公式易得,AB中点为P(a,b);
将圆配方变换为(x-1)^2+(y-1)^2=1,即圆心(1,1),半径r=1。
因AB与圆相切,故
|b*1+a*1-2ab|/根(a^2+b^2)=1
--->ab(2ab+1-2a-2b)=0
因a>1,b>1,即ab>1>0,故上式除以ab得
2ab+1-2a-2b=0
--->(a-1)(b-1)=1/2
可见,AB中点轨迹是以圆心(1,1)为中心的双曲线的一支,
即所求轨迹方程为:(x-1)(y-1)=1/2。
(2)三角形AOB面和S=1/2*(2a)(2b),
即ab=2S
代入a+b-ab=1/2得
a+b-2S=1/2
2根(ab)-2S=S>=3+2根2
上式取等号,即得三角形AOB面积最小值为 3+2根2。
此时,
{a=b,a+b-ab=1/2,a>1,b>1}
--->a=b=(2+根2)/2。
故AB方程为:x/(2+根2)+y/(2+根2)=1
即x+y-2-根2=0。收起
