2006-07-07
关于证切线和化简分式一类问题本人
问题:关于证切线和化简分式一类问题
回答:切线的判定定理
教学目标
1。使学生掌握切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2。 通过判定定理的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3。通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性。
教学重点和难点
切线的判定定理是重点；定理的运用中，辅助线的添加方法是难点。
教学过程设计
一、从学生已有的知识结构提出问题
1。投影打出直线与圆的三种位置关系。(图7-102)
根据图7-102，请学生回答以下问题
(1)在图7-102中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l分别和...全部
问题:关于证切线和化简分式一类问题
回答:切线的判定定理
教学目标
1。使学生掌握切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2。
通过判定定理的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3。通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性。
教学重点和难点
切线的判定定理是重点；定理的运用中，辅助线的添加方法是难点。
教学过程设计
一、从学生已有的知识结构提出问题
1。投影打出直线与圆的三种位置关系。(图7-102)
根据图7-102，请学生回答以下问题
(1)在图7-102中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l分别和⊙O是什么关系?
学生：分别相交、相切、相离。
(2)在上边三个图中，哪个图中的直线l是圆的切线?你是怎样判定的?
学生：图(2)中直线l是⊙O的切线。根据切线的定义判定。
教师指出：根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很
不方便，为此我们还要学习切线的判定定理。
(板书课题)
二、师生共同探讨、发现定理
1。让学生在纸上、教师在黑板上画⊙O，在⊙O上任取一点A，连结OA，过A点作直线l⊥
OA，作完后，提问：直线l是否与⊙O相切呢?
启发学生得出结论：由于圆心O到直线l的距离等于半径，即d＝r，因此直线l一定与圆相切。
请学生回顾作图过程，切线l是如何作出来的?它满足哪些条件?
引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径。
从而得到切线的判定定理。(板书定理)
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?
学生回答后，教师指出：定理中的两个条件缺一不可。(投影打出两个反例图7-103)
图(1)中直线l经过半径外端，但不与半径垂直；
图(2)中直线l与半径垂直，但不经过半径外端。
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线。
最后引导学生分析，定理实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线
和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端，并且
垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式。
因此，定理不必另加证明。
三、应用定理，强化训练
例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB。(图7-104)
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：欲证AB是⊙O的切线。由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端。因此只需证明OC⊥AB，因OA＝OB，CA＝CB，易证OC⊥AB。
证明：(学生口述，教师板演)
例2 如图7-105，已知OA＝OB＝5厘米，AB＝8厘米，⊙O的直径为6厘米。
求证：AB与⊙O相切。
分析：因为已知条件没给出AB和⊙O有公共点，所以可过圆心O作OC⊥AB，垂足为C。只需证明OC等于⊙O的半径3厘米即可。
证明：过O作OC⊥AB，垂足为C。
因为OA＝OB＝5厘米，AB＝8厘米，所以AC＝BC＝4厘米。
因此在RtAOC中，OC＝＝3(厘米)。
又因为⊙O的直径长为6厘米，
故OC的长等于⊙O的半径3厘米。
所以AB与⊙O相切。
完成以上两个例题后，让学生思考：以上两例辅助线的作法是否相同?有什么规律吗?
在学生回答的基础上，师生一起归纳出以下规律：
(1)若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径
垂直。
(2)当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证
圆心到直线的距离等于半径。
练习1 判断下列命题是否正确。(投影打出)
(1)经过半径外端的直线是圆的切线。
(2)垂直于半径的直线是圆的切线。
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线。
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切。
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，教师给予及时肯定或纠正。
练习2 如图7-106，⊙O的半径为8厘米，圆内弦AB＝83厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆，求证：小圆与直线AB相切。
练习3 如图7-107，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°。
求证：DC是⊙O的切线。
练习2和练习3请两名学生上黑板板演，教师巡视，个别辅导。
四、小结
提问：这节课主要学习了哪些内容?需要注意什么问题?
在学生回答的基础上，教师总结：
主要学习了切线的判定定理。着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条
件缺一不可。
判定一条直线是圆的切线，有三种方法：
(1)根据切线定义判定。即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
(3)根据切线的判定定理来判定，即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
切线。
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同。解题时，灵活选用其中之一。
证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线。
如果已知直线过圆上某一点，则作出过
这一点的半径，证明直线垂直于半径(如例1)；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆
心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径(如例2)。
分式复习课(1)
教学目标
1。
通过复习课使学生系统掌握有关分式的基本概念、基本性质和分式的符号法则；
2。熟练地进行有关分式的化简、求值和混合运算，提高学生的运算能力。
教学重点和难点
重点：灵活运用分式的基本性质、符号法则解决有关分式的化简、求值问题。
难点：正确进行分式的四则运算。
教学过程设计
一、复习
1。什么是分式?下列各代数式中，哪些是分式?
(1)x1 π+1; (2)2b a; (3)x2 3; (4)3x2－1 2x。
2。下列各式中不正确的变形是________，为什么?
A。b－a c=a－b －c B。－b－a c=－a+b －c
C。－a－b c=－a+b c D。
－a+b c=a+b －c
3。化简9a2b2 3a2b－6ab2,并说明化简的根据是什么?
4。求分式1 2a－2b，2 3a2b(b－a),5 4a3b2的最简公分母。
答案：
1。如果B中含有字母，式子AB就叫做分式，在分式中，分母的值不能是零。分式中的分母如果是零，那么分式没有意义。(2)，(4)是分式。
2。不正确的变形是D。
因为在分式变形中只改变了分式的分子中的一个字母的符号，根据分式的符号法则，应当同时改变分式的分子与分母的符号，才能使分式的值不变。
3。原式=9a2b2 3ab(a－2b)=3ab a－2b。
化简是依据分式的基本性质，即分子与分母都除以3ab分式的值不变。这里ab≠0是隐含条件。
4。最简公分母为12a3b2(a－b)。
二、例题
例1 使分式(x+7)(x－2) ｜x｜－7有意义的条件是什么?使分式的值为零的条件是什么?
答：使分式有意义的条件是分母的值不能为零，所以当｜x｜－7≠0，即x≠±7时，分式有意义。
使分式值为零的条件是分式分子的值等于零，分母的值不等于零，所以当x+7=0或x－2=0,且x≠±7，即x=2时，分式的值为零。
例2 化简 ｜x－3｜x－3+｜x－2｜2－x｜(2
解 因为2
指出：
1。两个分式的分子都是含有绝对值的式子，应根据题中所给出的条件，确定绝对值中的式子的符号；
2。注意正确运用添括号法则。
例3 计算[(m+4m m－2)(m－4+4m)－3m]÷(4m－1)。
解 原式=(m2－2m+4m m－2·m2－4m+4 m－3m)÷4－mm
=(m(m+2)m－2)·(M－22m－3m)·m 4－m
=(m2-3m-4)·(-mm-4)
=－(m－4)(m+1)·m m－4
=－m (m+1)
=－m2－m。
指出：
1。注意分式的混合运算顺序，先进行乘除运算，再进行加减运算，遇有括号，先算括号内的式子；
2。分式的分子中的多项式，若能分解因式，可先分解因式，分子、分母中若有相同的因式。
可先约分；
3。注意分式的符号法则，如m 4－m=－m m－4。
例4 已知｜x+y－1｜+(3x－y)2=0,求[y x2－2xy+y2 (1－yx)－x xy－y2]÷1xy的值。
请同学根据题目的特点，说出求值的思路。
答：由已知条件可先求出x和y的值，再化简所求的式子。在化简式子中，当分式的分母(或分子)为多项式时，若能分解因式，可先分解因式；分子、分母中若有相同的因式，可先约分。
最后把x和y的值代入化简后的式子求值。
解 因为｜x+y－1｜≥0，(3x－y)2≥0,又｜x+y－1｜+(3x－y2)=0,所以
x+y－1=0,3x－y=0。
解方程组x+y－1=0 3x－y=0 得,x=14,y=34。
[y x2－2xy+y2(1－yx)－x xy－y2]÷1 xy
=[(y (x－y)2·x－y x)－x y(x－y)]÷1xy=[y x(x－y)－x y(x－y)]÷1 xy
=y2－x2·xy·(x－y)xy=(y+x)(y－x) x－y
=－(y+x)。
当x=14 ,y=34时，
原式=－(y+x)=－(14+34)=－1。
指出：｜x+y－1｜与(3x－y)2是两个非负数，只有当它们的值都等于零时，它们的和才能等于零。
例5 化简[a－a(a+b)2](a2+2ab+b2+a+b+2) [b+b(a+b)][1－(a+b)3]。
分析：如果分式的分子与分母分别按乘法公式先展开，再进行化简那就非常繁琐，若把a+b看成一个整体，应用换元法，设a+b=m，把原式变为含m的分式，再化简运算就简便多了。
解 设m=a+b，则
原式=a(1－m2)(m2+m+1) b(1+m)(1－m3)=a(1+m)(1－m)(m2+m+1) b(1+m)(1－m)(m2+m+1)=ab。
指出：化简含m的分式时，运用了平方差和立方差公式把多项式分解因式。
三、课堂练习
1。判断正误，错的，请改正。
(1)－ a－b c=－(a+b)c; (2)b－a c=－a－bc;
(3)－a－b c=－a－b c; (4)－a+bc=－a+bc;
(5)－a－b－c=a+b c; (6)－m－n－n+m=m+n n－m;
(7)b2－a2 a+b=a－b; (8)1a+1b=1 a+b;
(9)(a3)3 a4=a2; (10)(b－a)2 a－b=a－b;
(11)(b－a)3 (a－b)2=a－b;
(12)(a2－b2)÷(a+b)·a－b a+b=(a+b)(a－b)÷(a－b)=a+b;
(13)(a－b)2 ab－a2－b2 ab=(a－b)2－a2－b2 ab=－2ab ab=－2。
2。填空：
(1)当a=______且b≠_______ 时,分式a a+b的值是零，当a与b_______时,a a+b,无意义;
(2)分式(2x+3)2－(2x－3)2 (3x－4)2－(3x－3)2若无意义，则x=_______;
(3)12 m2－9+2 3－m=______; (4)m2 m－n +n2 n－m=_______;
(5)b3 b－1－b2－b－1=______。
3。已知x=12,y=13,求[(xy－yx)÷(x－y)+x(1x+1y)]÷(xy+1y)的值。
4。若5x+5 x2+x－6 =A x－2－B x+3，求A，B。
答案：
1。(1)错，改正：－a－bc=－(a－b)c;
(3)错，改正：-a-bc=-a+bc; (4)错，改正:－a+b c=－a－b c;
(7错，改正：b2－a2 a+b =b－a； (8)错，改正：1a+1b=b+a ab;
(9)错，改正：(a3)3 a4=a9 a4=a5; (11)错，改正：(b－a)3 (a－b)2=b－a;
(12)错，改正：原式=(a+b)(a－b)×1a+b·a－b a+b=(a－b)2a+b；
(13)错，改正：原式=(a－b)2－(a2－b2) ab=a2－2ab+b2－a2+b2 ab
=2b2－2ab ab=2b(b－a) ab=2b－2a a。
2。(1)当a=0，且≠0时，分式a a+b的值是零，当a与b互为相反数时，a a+b无意义;
(2)x=32; (3)－2 m+3; (4)m+m;
(5)原式=b3b－1－(b2+b+1)=b3－(b－1)(b2+b+1) b－1=b3－(b3－1)b－1=1 b－1。
3。当x=12,y=13时，原式=123。
4。因为5x+5 x2+x－6=5x+5(x－2)(x+3),而
A x－2－B x+3=A(x+3)－B(x－2) (x－2)(x+3)=Ax+3A-Bx+2B (x－2)(x+3)=(A－B)x+(3A+2B)(x－2)(x+3),
又由已知5x+5 x2+x－6=A x－2－B x+3，所以
5x+5 (x－2)(x+3)=(A－B)x+(3A+2B)(x－2)(x+3)
如果两个最简分式恒等，并且分母相等，分子必相等。
所以
5x+5=(A－B)x+(3A+2B)，
即A－B=5 2A+2B=5。解得A=3,B=－2。
四、小结
分式的意义、基本性质、分式的符号法则，使分式的值为零及使分式无(有)意义的条件和换元的思想方法是分式一章的重要基础知识，希望同学们要切实掌握。
分式的混合运算是整式运算、多项式因式分解和分式运算的综合运用。由于计算步骤多，解题
方法灵活，符号变化又易出错，要认真细心进行运算，努力提高自己的运算能力。
五、作业
1。
选择题：
(1)下列各式从左到右的就化，错误的是( )。
A。－(a+b) c=－a+b c B。－a－b －c=a+b c
C。－a－b c=－a－b c D。
b－a c=a－b c
2。下列等式正确的是( )。
A。xy=x2 y2 B。xy=xy x+y
C。xy=x20。5y D。xy=x－y x+y
3。
下列等式成立的是( )。
A。1x1y=1x·x 1y·y B。－x2+y2 x－y=－x－y
C。(x+a)(x－b)-1(x+a)(x－b)=x+b－1 x－b D。
a÷b×1b=a
4。无论x取何值，不列分式总有意义的是( )。
A。x 3x B。x+2 x2 C。x2+1 ｜x－2｜ D。1 x2+3
(5)能使分式2x+3 9－4x2的值为零的x的值是( )。
A。－32 B。32 C。±32 D。不存在
(6)使分式有意义的x的值是( )。
A。x≠6 B。x≠－1 C。x≠6或x≠－1 D。x≠6且x≠－1
2。
计算：
(1)1 x2－4x+4+x 4－x2+1 2x+4; (2)x2+2x－8 x3+2xx2+x÷(1－2x)(1+1x+3);
(3)(1x+x－3 x－1+2 x2－x)÷(1+3x－4x2);(4)(1a－1－a－1 a2+a+1)÷(－9a a3－1);
(5)x－3 x2－2x－3－x+3 1－x2÷x2+4x+3 2x－1－x2。
3。求值：
(1)x(x－y)2·x3－y3 x2+xy+y2 +(2x+2 x－y －2)，其中x，y满足方程组x+y=3 x－y=2;
(2)已知a=－32 ，求1 a－2 －1 a÷a－2 2的值。
答案：
1。(1)C (2)C (3)B (4)D (5)D (6)D
2。(1)－X－4 2(X－2)2; (2)(X+4)2 (X+3)(X+1)2
(3)X X+4; (4)－13; (5)2 X2+2X+1。
3。(1)原式=x+2y+2 x－y值为11 4；(2)原式=1a，值为－23。
谢!!。收起
