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矩阵AB=BA的充要条件是?

矩阵AB=BA的充要条件是?

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2006-11-27

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A,B如果互为逆方阵,即:A^-1=B ,这显然可推出:AB=BA=E。不过,这仅仅是充分条件,并非楼主所要的充分要条件。 AB=BA充要条件:方阵A 行(列)向量与方阵B的行(列)向量正交。 也即,把组成A的行(或列)向量的正交向量找出。然后用正交向量对应构造方阵B。(这个问题讨论的前提是A,B为方阵) 证明是很容易的。

2006-11-27

矩阵AB=BA的充要条件是AB是实对称矩阵 其中:何为实对称矩阵:满足A(T)=A,即矩阵A与其转置矩阵相等。

2006-11-23

AB=BA,证明A,B可逆,而可逆的充要条件是它们的行列式不为0

2006-11-22

     自己看看吧 =========================================================== A,B都是正定矩阵 证明AB是正定矩阵的充要条件是 AB=BA 必要性:AB正定,所以AB为对称矩阵,AB=(AB)(T)=B(T)A(T)=BA 所以:AB=BA ,即A,B可交换 充分性:由AB=BA得 AB为实对称矩阵,r(AB)=r(A)=n (A,B为正定,则A,B可逆,所以r(A)=n) 由r(AB)=n得,r(f)=n 所以:AB矩阵的正惯性系数为n 所以:AB为正定矩阵 ===================================== An,Bn是正定矩阵,AB=BA (1)证明AB是正定矩阵 (2)为何:AB=BA,A、B是正定阵==>AB为实对称矩阵 (1)证明: 因为AB正定,所以A`=A,B`=B且存在可逆矩阵P,Q,使A=P`P,B=Q`Q。
     故(AB)`=B`A`=BA=AB,即AB是对称矩阵。 Q(AB)(Q^-1)=Q(P`P)(Q`Q)(Q^-1)=(PQ`)`(PQ`) 记M=PQ`,因PQ均可逆,知M可逆,M`M正定。
   AB相似于M`M,从而AB的特征值全大于0,故AB是正定矩阵。   (2)对称是一个矩阵正定的前提,也就是说只有对称矩阵才有资格被讨论是否为正定矩阵,而正定矩阵必为对称矩阵。
   。

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