用matlab怎样解二阶符号微分方程
求解一阶ODE的代码是很直接的。然而,二阶或者三阶的ODE不能够直接应用求解。你必须先将高阶的ODE改写成一阶的ODEs系统,使得它可以采用MATLAB ODE求解器。 这是一个如何将二阶微分方程改写成两个一阶微分方程以便利用MATLAB的诸如ODE45等求解器求解的例子。 下面的方程组包含了一个一阶与一个二阶微分方程: x'= - y*exp(-t/5) y' * exp(-t/5) 1; (1) y''= -2*sin(t); (2) 第一步是引入一个新的变量,使得它等于具有二阶导数的自由变量的一阶导数: z=y' (3) 对上式两边求导如下: z' = y'' ; (4) 将(4)...全部
求解一阶ODE的代码是很直接的。然而,二阶或者三阶的ODE不能够直接应用求解。你必须先将高阶的ODE改写成一阶的ODEs系统,使得它可以采用MATLAB ODE求解器。 这是一个如何将二阶微分方程改写成两个一阶微分方程以便利用MATLAB的诸如ODE45等求解器求解的例子。
下面的方程组包含了一个一阶与一个二阶微分方程: x'= - y*exp(-t/5) y' * exp(-t/5) 1; (1) y''= -2*sin(t); (2) 第一步是引入一个新的变量,使得它等于具有二阶导数的自由变量的一阶导数: z=y' (3) 对上式两边求导如下: z' = y'' ; (4) 将(4)式带入(2)式得到如下方程: z'= -2*sin(t) (5) 联立(1),(3)与(5)得到三个一阶微分方程: x'= - y*exp(-t/5) y' * exp(-t/5) 1; (1) z=y'; (3) z'= -2*sin(t) (5) 既然 z=y' ,用z代替等式(1)中的y' 。
而且,因为MATLAB要求所有的导数项在左边,改写等式(3)。得到如下的方程组: x'= - y*exp(-t/5) z* exp(-t/5) 1; (1a) y'=z ; (6a) z'= -2*sin(t); (5a) 为了利用ODE45或者是MATLAB的其他的ODE求解器求解上面的方程组,需要建立一个包含这些微分方程的函数。
这个函数需要两个输入:状态量与时间,返回状态的微分,建立命名为odetest。m的函数如下: function xprime=odetest(t, x) % 既然状态量以单个向量的形式输入,我们令: % x(1)=x; % x(2)=y; % x(3)=z; xprime(1)=-x(2)* exp(-t/5)+x(3)*exp(-t/5) 1; % x'= - y*exp(-t/5) z* exp(-t/5) 1; xprime(2)=-x(3); % y'=z xprime(3)=-2×sin(t); % z'= -2*sin(t) xprime=xprime(:); % 这是为了确保返回的是个列向量 采用ODE23或者另外的MATLAB ODE求解器求解方程系统,定义起始和停止时间以及初识的状态向量。
例如: t0 = 5 ; % 起始时间 tf = 20 ; % 停止时间 x0 = [1 –1 3] ; % 初识条件 [t , s] = ode23 ( @odetest, [t0 ,tf ], x0) ; x = s (: , 1 ); y = s (: , 2 ); z = s (: , 3 );。
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