证明:如果向量b可由向量组a1,a2,...ar线性表示,则表示法是唯一的充分必要条件是向量组a1,a2,...ar线性无关。
必要性。已知向量b可由向量组a1,a2,。。。,ar线性表示,且表示法唯一。 设b=k1a1+k2a2+……+krar。假设向量组a1,a2,。。。,ar线性相关,则存在一组不全为零的数t1,t2,……,tr,使得t1a1+t2a2+……+trar=0所以,b=(k1 t1)a1+(k2 t2)a2+……+(kr tr)ar,因为t1,t2,……,tr不全为零,所以b=k1a1+k2a2+……+krar与b=(k1 t1)a1+(k2 t2)a2+……+(kr tr)ar是两种不同的表示方法,与表示法唯一矛盾。 所以,向量组a1,a2,。。。,ar线性无关充分性。已知向量组a1,a2,。...全部
必要性。已知向量b可由向量组a1,a2,。。。,ar线性表示,且表示法唯一。 设b=k1a1+k2a2+……+krar。假设向量组a1,a2,。。。,ar线性相关,则存在一组不全为零的数t1,t2,……,tr,使得t1a1+t2a2+……+trar=0所以,b=(k1 t1)a1+(k2 t2)a2+……+(kr tr)ar,因为t1,t2,……,tr不全为零,所以b=k1a1+k2a2+……+krar与b=(k1 t1)a1+(k2 t2)a2+……+(kr tr)ar是两种不同的表示方法,与表示法唯一矛盾。
所以,向量组a1,a2,。。。,ar线性无关充分性。已知向量组a1,a2,。。。,ar线性无关。 假设向量b由向量组a1,a2,。。。ar线性表示的表示式不唯一,设b=m1a1+m2a2+……+mrar与b=n1a1+n2a2+……+nrar是两种不同的表示,则(m1-n1)a1+(m2-n2)a2+……+(mr-nr)ar=0,其中m1-n1,m2-n2,……,mr-nr不全为零,所以a1,a2,……,ar线性相关,与已知矛盾。
所以向量b由向量组a1,a2,。。。ar线性表示的表示法唯一。收起