数学定义 设X是一个非空集合。X的一个子集族τ称为X的一个拓扑,如果它满足: (1)X和空集{}都属于τ; (2)τ中任意多个成员的并集仍在τ中; (3)τ中有限多个成员的交集仍在τ中。
称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间,记作(X,τ)。 称τ中的成员为这个拓扑空间的开集。 例子:1。欧几里德空间在通常开集的意义下是拓扑空间,它的拓扑就是所有开集组成的集合。
2。设X是一个非空集合。则集合t:{X,{}}是X的一个拓扑。称t为X的平凡拓扑。显然(X,t)只有两个开集,X和{}。 3。 设X是一个非空集合。
则X的幂集T=2^X也是X的一个拓扑。称T为X的离散拓扑。显然X的任意子集都是(X,T)的开集。 4。一个具体的例子。设X={1,2,3}。则{X,{},{1,2}}是X的一个拓扑,但{X,{},{1},{2}}不是拓扑。
(自己想想为什么)。