数学题 过程要有
∵ n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
∴ 1*2+2*3+。。。+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+。。。。+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+。 。。。。。+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
或者数学归纳法。。或者
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
。 。。。。。
n^3-(...全部
∵ n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
∴ 1*2+2*3+。。。+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+。。。。+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+。
。。。。。+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
或者数学归纳法。。或者
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
。
。。。。。
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+。。。+n^2)+[1^2+2^2+。。。+(n-1)^2]-(2+3+4+。
。。+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+。。。+n^2)-2+[1^2+2^2+。。。+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+。。。+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+。
。。+n^2)-2-n^2-(1+2+3+。。。+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+。。。+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+。。。+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
∴ 1^2+2^2+。
。。+n^2=n(n+1)[(2n+1)/6
以n=96代入上式，得：
1^2+2^2+。。。+96^2=96(96+1)[(2*96+1)/6=299536 。
。收起
