什么是悖论？能举个例子吗？谢谢。

谁能举几个有关悖论的例子

1．克里特人伊壁孟德 伊：所有的克里特人都是撒谎者。 M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人， 他必然说了假话。他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。 他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？ 伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。 关于他的上面那段文字，如果我们假定撒谎者总是说假话，不撒谎的人总是说真话，那么就会出现逻辑的矛盾。 按此假定，“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话，因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人，因此他说的就不是真话。可是这...全部

  1．克里特人伊壁孟德 伊：所有的克里特人都是撒谎者。 M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人， 他必然说了假话。他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。
  他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？ 伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。 关于他的上面那段文字，如果我们假定撒谎者总是说假话，不撒谎的人总是说真话，那么就会出现逻辑的矛盾。
  按此假定，“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话，因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人，因此他说的就不是真话。可是这又意味着克里特人是说真话的，那么伊壁孟德说的话也必定是真话，因此上面引的那句话也不可能是假话。
   古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话呢！一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖论”的论文，没有一篇成功。有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱，据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。
  在《新约》中，圣·保罗在他给占塔斯的书信中也引述过这段悖论（1:12 – 13）。 2．说谎者悖论 M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。 甲：这句话是错的。
   M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。 学生们是否能够解释，为什么这类悖论采用上述形式表达（即一句话谈的正是它本身）就变得清晰起来？这是因为它消除了说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真话。
   3。无穷的倒退 M：机器受到的难题就像人碰到要解答一个古老的谜？。 问题：鸡和鸡蛋，到底先有哪个？ M：先有鸡吗？不，它必须从鸡蛋里孵出来，那末先有鸡蛋？不，它必须由鸡生下。
  好！你陷入了无穷的倒退之中。 鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学家称为“无穷倒退”的最普通的例子。老人牌麦片往往装在一个盒中，上面的画是一个老人举着一盒麦片，这个盒上也有一张画有一个老人举着一盒麦片的小画片。
  自然，那个小盒上又有同样的画片，如此以往就像一个套一个的中国盒子的无穷连环套一样。《科学美国人》1965年4月号有一个封面，画着—个人眼中反映着这本杂志。你可以看到在反映出的杂志上，也有一个小一点的眼睛，反映出一本更小的杂志，自然这样一直小下去。
  在理发店里，对面的墙上有很多相向的镜子，人们在这些镜子中可以看到反照出的无穷倒退。 4。理发师悖论 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。
   M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。
  但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！ 伯特纳德·罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。
  某些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果，所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元案的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾[*]。
   在逻辑学历史上最富戏剧性的危机之一就与这条逆论有关。德国的著名逻辑学家哥特洛伯·弗里兹写完了他最重要的著作《算法基础》第二卷，他认为他在这本书中确立了一套严密的集合论，它可作为整个数学的基础。
  1902年，当该书付印时，他收到了罗索的信，他得知上面那条悖论。弗里兹的集合论容许由一切不是它自身的元素的集合构成的集合。正如罗素在信中澄清的，这个表面上结构完美的集合却是自相矛盾的。弗里兹在收到罗素的信后，只来得及插入一个简短的附言： “一个科学家所遇到的最不合心意的事，莫过于是在他的工作即将结束时使其基础崩溃了，我把罗素的来信发表如下……” 据说，弗里兹使用的词“不合心意”（undesirable）是数学史上最词不达意的说法了 5。
  2．四只猫的性别 M：很容易作出错误的概率计算。这儿有两只猫已住在一起。 V1：亲爱的，我们的新房舍中有几只猫？ V2：你不会数呀？四只，你这个笨蛋。 V1：几只雄猫？ V2：很难说，我也不知道呢。
   V1：四只猫都是雄的不太可能。 V2：也不可能四只都是雌猫。 V1：也许只有一只是雄猫。 V2：或许只有一只是雌猫。 V1：这也不是很难想出来的，亲爱的。
  每只猫是雄是雌的机会是一半对一半，所以很明显，最有可能的结果是两个雄的，两个雌的。你还不能把它们算出来吗？ M：猫先生的理由对不对？ 让我们来检验它的理论。用B表示雄猫，用G表示雌猫，这就很容易列出十六种同等可能的情况。
   M：在十六种中只有两种是所有猫都具有同样性别，所以，这种情况发生的概率是2/16，或1/8。猫先生认为这种情况具有最低概率是对的。 M：现在，让我们检验一下2—2分配，猫先生认为这是可能性最大的一种。
  这种情况有六次，所以其概率是6/16，或3/8。这显然比1/8高。猫先生也许是对的。 M：可是，我们还有一个更大可能的情况要考虑：3—1分配，由于这种情况有8次，其概率是8/16，或1/2。
  这就比2—2分配高。我们大概是搞错了吧？ M：如果我们算出的概率是对的，它们相加应等于l。加一加果然为1。这就向我们说明，三种情况都会发生，猫先生猜错了，最可能的情况是3—1，而不是2—2。
   一家四个孩子最可能的情况是三个孩子是一种性别，另一孩子是另一种性别，而不是两个男孩，两个女孩，这一点使大多数学生感到惊讶。在班级里，用4个硬币反复抛掷很容易作出试验。将每次抛掷结果记录下来。
  在抛了100次之后，差不多有50次是3—1组合，而2—2组合大约是33次。 在做了这个练习之后，你也许希望给你的学生一项任务，决定在一个有五个孩子或六个孩子的家庭中不同性别组合的概率。由于这是令人乏味的工作，当他在列出所有组合时，你再向他介绍节省时间的公式就是最好的时机。
   —个类似的问题是关于一手桥牌中四种花色的最可能分布，其答案也同样违反直觉。最不可能的情形自然是拿到同一花色的13张牌（你拿到这手牌的可能性是158753389899分之一）。可是最可能出现的情况是什么呢？ 即使是很有经验的桥牌手也往往猜想答案是4，3，3，3。
  这就错了。最可能的一手牌是4，4，3，2。你可以期望这类牌大约要五圈拿到一次；而4，3，3，3这种分布则大约要每九圈或十圈才能拿一次。就是5，3，3，2这种分布也可能是每六圈拿一次。奥斯瓦尔德·雅可比写的《怎样预测手气》中给出了各种可能的花色分布概率表。
  较有才能的学生用袖珍计算器可以把证实雅可此的预测表当作一项有趣的工作。 在报纸上，你是不是会看到某人得到一手完满的桥牌的故事。得到这种牌的可能性小到要用天文数字来表示，因此故事几乎肯定是假的，要不，在玩牌人当中就有人着实在搞鬼，他偷偷地把牌安排好了。
  要不然就可能是刚拿出一副新牌，某人无意地作了两次完满的洗牌。完满的洗牌就是把这副牌严格对半分，然后两边的牌一张一张地交叠。洗两次后，这副牌就是四种花色顺次交错。这时无论怎样发牌，都得到四手完满的牌。
   6。4．电梯悖论 M：人们乘坐电梯往往为另一个奇怪的概率悖论而感到迷惑不解。我们假定在这幢大搂里，电梯运行是独立的（即与任何人无关），在每层楼停留的时间均等。 M：高先生的办公室靠近顶层，他非常恼火。
   高：真见鬼，我等乘电梯下楼已经等了五分钟了，所有停下的电梯都是要上楼的。老是这样。 高：说不定他们是在底层做好电梯，待电梯升到顶层时，再将它从房顶用直升飞机运走呢！ M：艾小姐在接近底层的办公室工作。
  她每天要到顶层的餐厅吃午饭。她也很恼火。 艾：我真不明白。不管我什么时候等电梯，停下的电梯多数是要下楼。 艾：他们肯定是先把电梯弄到顶层，然后把它打发到地下室存起来了。 M：用一个简单的图可以排除这团迷雾。
  对于高先生而言，电梯间里只有上端黑色区中的电梯才下楼。这个区比阴影区小，因此电梯在他那层楼从下面往上跑的概率要高得多。你现在看得出，在艾小姐的情况下这一推论同样起作用了吧？ 电梯悖论首先出现在一本物理学家乔治·伽摩和他的朋友马文·斯特恩写的书——《数学之谜》中。
  在用一个电梯说明这个悖论时，就象我们前面那样，伽摩和斯特恩犯了一个小错误。他们认为，如果电梯不止一架，概率“自然还是同样的”。 斯坦福大学的计算机科学家首先认识到这个错误。他在1969年7月的《娱乐数学杂志》上写了一篇文章“伽摩—斯特恩电梯问题”。
  他指出，当电梯增加后，在任何一层碰到电梯上楼和下楼的概率都接近1/2。 这种情况在一定程度上是比原来的悖论更令人感到矛盾了。这意味着，如果你在接近顶层等电梯，并只注意其中一个电梯门的话，那么将要到的那台电梯可能上楼的概率较高。
  可是，如果不管那个电梯间的电梯都可以上，则将要到达的那台电梯上、下楼的概率就不问了。这个概率在电梯数目接近无限时就接近于1/2。停在接近底层的电梯可能下楼的概率也是同样的。 自然，我们假定电梯的运行彼此无关，它们的速度相等，且在每层楼的平均等待时间相等。
  如果电梯只有少数几台，则概率稍有偏离。但如果有20台，则对所有各层来讲，上、下楼的概率就非常接近1/2了，自然最顶层和最底层除外。 。收起