数学上楼梯时每步可上1阶、2阶或3阶，这样上到第17阶但不踏到第8阶和第16阶的不同上法有多少种？
情形1：踏到第7阶（注意起步在0阶上）
（1）1-7阶的上法：①2步3阶1步1阶，C(3,1)=3; ② 1步3阶4步1阶，C(5,1)=5;
③1步3阶1步2阶2步1阶；C(4,1)C(3,1)=12; ④ 1步3阶2步2阶；C(3,1)=3;
⑤3步2阶1步1阶；C(4,1)=4; ⑥ 2步2阶3步1阶；C(5,3)=10; ⑦ 1步2阶5步1阶；
C(6,1)=6; ⑧ 7步1阶；C(7,7)=1,
1-7阶总的上法：3+5+12+3+4+10+6+1=44
（2）9-15阶的上法：
1º 踏到第9阶
【1】也踏到第15阶（第9阶到第15阶共有6阶）：①2步3阶C(2,2)...全部
情形1：踏到第7阶（注意起步在0阶上）
（1）1-7阶的上法：①2步3阶1步1阶，C(3,1)=3; ② 1步3阶4步1阶，C(5,1)=5;
③1步3阶1步2阶2步1阶；C(4,1)C(3,1)=12; ④ 1步3阶2步2阶；C(3,1)=3;
⑤3步2阶1步1阶；C(4,1)=4; ⑥ 2步2阶3步1阶；C(5,3)=10; ⑦ 1步2阶5步1阶；
C(6,1)=6; ⑧ 7步1阶；C(7,7)=1,
1-7阶总的上法：3+5+12+3+4+10+6+1=44
（2）9-15阶的上法：
1º 踏到第9阶
【1】也踏到第15阶（第9阶到第15阶共有6阶）：①2步3阶C(2,2)=1; ② 1步3阶3步1阶，C(4,1)=4;③1步3阶1步2阶1步1阶；C(3,1)C(2,1)=6; ④ 3步2阶；C(3,3)=1;
⑤2步2阶2步1阶；C(4,2)=6; ⑥ 1步2阶4步1阶；C(5,1)=5; ⑦ 6步1阶；C(6,6)=1,
此种情况9-15阶的总上法：1+4+6+1+6+5+1=24
【2】不踏到第15阶，必踏到第14阶（第9阶到第14阶共有5阶）
① 1步3阶1步2阶C(2,1)=2; ② 1步3阶2步1阶，C(3,1)=3;③2步2阶1步1阶；C(3,1)=3; ④ 1步2阶3步1阶；C(4,1)=4; ⑤5步1阶；C(5,5)=1;
此种情况9-14的总上法：2+3+3+4+1=13
2º 不踏第9阶，则必踏第10阶，
【1】 也踏到第15阶（第10阶到第15阶共有5阶），因此此时10-15阶的总上法13种。
【2】 不踏到第15阶，必踏到第14阶，（第10阶到第14阶共有4阶）
① 1步3阶1步1阶C(2,1)=2; ② 2步2阶，C(2,2)=1;③1步2阶2步1阶；C(3,1)=3;
④ 4步1阶；C(4,4)=1; 因此此时10-14阶的总上法：2+1++3+1=7
综上：对于情形1，走完这17阶，共有44*【（24+13）+（13+7）】=2508种。
情形2 ：不踏第7阶。则必踏第6阶和第9阶。
（1）1-6阶（注意到刚开始在0阶上，要上1-6阶共有6阶）的总上法：24种
（2）9-15阶的总上法：24+13=37
综上：对于情形2，走完这17阶，共有24*37=888种。
因此上到第17阶但不踏到第8阶和第16阶的不同上法有
2508+888=3396种。
。收起
