解方程对于N属于N*，解方程si
当n=1时，1=sinx+cosx=√2cos(x-π/4)。
于是，有x=2mπ，或x=2kπ+π/2，m、k∈Z。
当n=2时，1=sinxsin2x+cosxcos2x=cos(2x-x)，
于是得，x=2mπ，m∈Z。
当n>2时，1=sinxsin2x···sinnx+cosxcos2x···cosnx
≤|sinxsin2x···sinnx|+|cosxcos2x···cosnx|
≤|sinxsin2x|+|cosxcos2x|
=max{|sinxsin2x+cosxcos2x|，|sinxsin2x-cosxcos2x|}
=max{|cosx|，|cos3x|}
因...全部
当n=1时，1=sinx+cosx=√2cos(x-π/4)。
于是，有x=2mπ，或x=2kπ+π/2，m、k∈Z。
当n=2时，1=sinxsin2x+cosxcos2x=cos(2x-x)，
于是得，x=2mπ，m∈Z。
当n>2时，1=sinxsin2x···sinnx+cosxcos2x···cosnx
≤|sinxsin2x···sinnx|+|cosxcos2x···cosnx|
≤|sinxsin2x|+|cosxcos2x|
=max{|sinxsin2x+cosxcos2x|，|sinxsin2x-cosxcos2x|}
=max{|cosx|，|cos3x|}
因此，如果某个x是原方程的解，则
|cosx|=1，或|cos3x|=1。
但若|cos3x|=1，则sin3x=0，
即cosxcos2x···cosnx=1，仍有|cos3x|=1。
故只需考虑|cosx|=1的情神，
经验证，对任意n≥3，x=2mπ，m∈Z满足方程，
又如果x=(2k+1)π，k∈Z，则因
sinrx=0，cosrx=(-1)^r，r=1，···，n。
因此仅当1=sinxsin2x···sinnx+cosxcos2x···cosnx=(-1)^[n(n+1)/2]，
即n(n+1)/2为偶数时，x=(2k+1)π满足方程，
但当且仅当n或n+1有一个被4整除时n(n+1)/2为偶数·
综上所述，
当n=1时，x=2mπ或x=2kπ+π/2，m、k∈Z；
当n=4l-2或n=4l+1，l∈N*时，x=2mπ，m∈Z；
当n=4l或n=4l-1，l∈N*时，x=mπ，m∈z。
收起
