圆内四边形的半径公式设a,b,c
证明 设圆内接四边形ABCD两对角线AC,BD交于Q,∠CQD=T,
记AC=m,BD=n。
过A点作AE∥BD, 交外接圆于E,连CE,BE,DE。记CE=k。
易证圆内接四边形ABCD的面积:
S=√[(s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)] 。
而四边形ABCD的另一个面积公式:2S=AC*BD*sinT=2mnsinT。
CE=k=2R*sin(π-T)=2R*sinT,即sinT=k/(2R) 。
所以 S=mnk/(4R)
故所证恒等式等价于:
4R=√[(ab+cd)*(ac+bd)*(ad+bc)]/S
kmn=√[(ab+cd)*(ac+bd)*(ad+bc...全部
证明 设圆内接四边形ABCD两对角线AC,BD交于Q,∠CQD=T,
记AC=m,BD=n。
过A点作AE∥BD, 交外接圆于E,连CE,BE,DE。记CE=k。
易证圆内接四边形ABCD的面积:
S=√[(s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)] 。
而四边形ABCD的另一个面积公式:2S=AC*BD*sinT=2mnsinT。
CE=k=2R*sin(π-T)=2R*sinT,即sinT=k/(2R) 。
所以 S=mnk/(4R)
故所证恒等式等价于:
4R=√[(ab+cd)*(ac+bd)*(ad+bc)]/S
kmn=√[(ab+cd)*(ac+bd)*(ad+bc)]
根据托勒密定理: mn=ac+bd
k^2*(ac+bd)=(ab+cd)*(ad+bc)
bd(k^2-a^2-c^2)+ca(k^2-b^2-d^2)=0。
在△BCE和△CDE中,BE=AD=d,DE=AB=a,∠CBE+∠CDE=180°,
根据余弦定理; bd(k^2-a^2-c^2)+ca(k^2-b^2-d^2)
=bd*(2ac*cos∠CDE)+ca(2bd*cos∠CBE)=0。
。收起