设p为三角形ABC内一点
证明：不妨设∠A，∠B，∠C都大于30°（因为如其中有一个角度不大于30°，结论已成立了），且满足∠C≥∠A，∠C≥∠B（如不满足，可轮换∠A，∠B，∠C使∠C为最大角之一，且轮换后不会影响结论的真假）。
这样的三角形如下图所示。其中：
∠EAB=∠FCA=30°，G为AE与CF的交点。
在直角坐标系下，若A为原点，AB为x轴方向，则△ABC各点的坐标如下：
A：（0，0），B：（b，0），C：（a，h），G：（xg，yg），其中
0＜a＜b，0＜h。
根据直线方程，不难求出G点的坐标值：
xg=√3(a^+h^)/4（a^表示a 的平方，h^表示h 的平方，下同）
yg= (a^...全部
证明：不妨设∠A，∠B，∠C都大于30°（因为如其中有一个角度不大于30°，结论已成立了），且满足∠C≥∠A，∠C≥∠B（如不满足，可轮换∠A，∠B，∠C使∠C为最大角之一，且轮换后不会影响结论的真假）。
这样的三角形如下图所示。其中：
∠EAB=∠FCA=30°，G为AE与CF的交点。
在直角坐标系下，若A为原点，AB为x轴方向，则△ABC各点的坐标如下：
A：（0，0），B：（b，0），C：（a，h），G：（xg，yg），其中
0＜a＜b，0＜h。
根据直线方程，不难求出G点的坐标值：
xg=√3(a^+h^)/4（a^表示a 的平方，h^表示h 的平方，下同）
yg= (a^+h^)/4
令α=∠GBC
则tg(α)=(k1-k2)/(1+k1k2)，其中
k1=(a^+h^)/[√3(a^+h^)-4ah]为GB的斜率
k2=h/(a-b) 为CB的斜率
令⊿=[√3(a^+h^)-4bh](a-b)+ (a^+h^)h
由k1＜0，k2＜0可推得0＜⊿
经计算化简得
tg(α)=(1/√3){1-[(a-b/2)^+(√3b/2-h)^](4h/⊿)}≤1/√3
得α≤30°，即∠GBC≤30°
如果P点在△GAB（红色三角形）中（包括边AG），由于∠GAB=30°得
∠PAB≤30°
如果P点在△GCA（蓝色三角形）中（包括边CG），由于∠GCA=30°得
∠PCA≤30°
如果P点在△GBC（红色三角形）中（包括边BG），由于∠GBC≤30°得
∠PBC≤30°
综合上述，设P为三角形ABC内一点，则∠PAB，∠PBC，∠PCA中至少有一个角小于或等于30°。
最后谢谢国宝大熊猫4912出的好题。收起
