一道初一数学题
已知：a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=2,a^3+b^3+c^3=3求：a^4+b^4+c^4注：^指几次方
全部回答
∵a^2+b^2+c^2=2,(a+c+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca),
又a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=2，
∴ab+bc+ca=-1/2，
a^4+b^4+c^4=a^3（1-b-c）+b^3(1-c-a)+c^3(1-a-b)
=a^3+b^3+c^3-(a^3b+a^3c+b^3c+b^3a+c^3a+c^3b)
=3-ab(a^2+b^2)-bc(b^2+c^2)-ca(c^2+a^2)
=3-ab(2-c^2)-bc(2-a^2)-ca(2-b^2)
=3-2(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)
=3+1+abc
=4+abc
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
=(1-c)(a^2-ab+b^2)=a^2-ab+b^2-a^2c+abc-b^2c。
。。。(1) b^3+c^3=。。。。。。。。。。=b^2-bc+c^2-b^2a+abc-c^2a。。。。(2) c^3+a^3=。。。。。。。。。。=c^2-ca+a^2-c^2b+abc-a^2b。
。。。
(3) (1)+(2)+(3) 2(a^3+b^3+c^3)=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)-(a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+a^2b)+3abc =4+1/2-[ac(a+c)+bc(b+c)+ab(a+b)]+3abc =4+1/2-[ac-abc+bc-abc+ab-abc]+3abc =4+1/2-(ac+bc+ab)+6abc =4+1/2+1/2+6abc =5+6abc=6 abc=1/6 a^4+b^4+c^4=4+abc=4+1/6=25/6 。
。。。(1) b^3+c^3=。。。。。。。。。。=b^2-bc+c^2-b^2a+abc-c^2a。。。。(2) c^3+a^3=。。。。。。。。。。=c^2-ca+a^2-c^2b+abc-a^2b。
。。。
(3) (1)+(2)+(3) 2(a^3+b^3+c^3)=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)-(a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+a^2b)+3abc =4+1/2-[ac(a+c)+bc(b+c)+ab(a+b)]+3abc =4+1/2-[ac-abc+bc-abc+ab-abc]+3abc =4+1/2-(ac+bc+ab)+6abc =4+1/2+1/2+6abc =5+6abc=6 abc=1/6 a^4+b^4+c^4=4+abc=4+1/6=25/6 。
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
=(1-c)(a^2-ab+b^2)=a^2-ab+b^2-a^2c+abc-b^2c。。。。(1)
b^3+c^3=。
。。。。。。。。。=b^2-bc+c^2-b^2a+abc-c^2a。。。。(2) c^3+a^3=。 。。。。。。。。。=c^2-ca+a^2-c^2b+abc-a^2b。
。。。
(3) (1)+(2)+(3) 2(a^3+b^3+c^3)=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)-(a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+a^2b)+3abc =4-1/2-[ac(a+c)+bc(b+c)+ab(a+b)]+3abc =4-1/2-[ac-abc+bc-abc+ab-abc]+3abc =4-1/2-(ac+bc+ab)+6abc =4-1/2-1/2+6abc =3+6abc=6 abc=1/2 利用一楼的结果: a^4+b^4+c^4=2+abc=2+1/2=5/2 。
。。。。。。。。。=b^2-bc+c^2-b^2a+abc-c^2a。。。。(2) c^3+a^3=。 。。。。。。。。。=c^2-ca+a^2-c^2b+abc-a^2b。
。。。
(3) (1)+(2)+(3) 2(a^3+b^3+c^3)=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)-(a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+a^2b)+3abc =4-1/2-[ac(a+c)+bc(b+c)+ab(a+b)]+3abc =4-1/2-[ac-abc+bc-abc+ab-abc]+3abc =4-1/2-(ac+bc+ab)+6abc =4-1/2-1/2+6abc =3+6abc=6 abc=1/2 利用一楼的结果: a^4+b^4+c^4=2+abc=2+1/2=5/2 。
∵a^2+b^2+c^2=2,(a+c+c)^2=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca),
又a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=2，
∴ab+bc+ca=1/2，
a^4+b^4+c^4=a^3（1-b-c）+b^3(1-c-a)+c^3(1-a-b)
=a^3+b^3+c^3-(a^3b+a^3c+b^3c+b^3a+c^3a+c^3b)
=3-ab(a^2+b^2)-bc(b^2+c^2)-ca(c^2+a^2)
=3-ab(2-c^2)-bc(2-a^2)-ca(2-b^2)
=3-2(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)
=3-1+abc
=2+abc
再设法求出abc的值即成！
太难为初一学生了吧！行的话，今后解“哥德巴赫猜想”不愁了！
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