函数方程求多项式P(x),使得它满足方程
x(x+1)P(x-1)=(x-1)(x-2)P(x)
并且P(2)=24.
x(x+1)P(x-1)=(x-1)(x-2)P(x)。。①
在①中，令x=0,得P(0)=0；令x=-1,得P(-1)=0；令x=2,得P(1)=0。故P(x)含有因式x(x-1)(x+1)。 从而可置P(x)=x(x-1)(x+1)Q(x),
即 P(x)=(x³-x)Q(x)。。②
P(x-1)=x(x-1)(x-2)Q(x-1)。。③
由①②③，得xQ(x-1)=(x-1)Q(x)。 。④
由④，知Q(x)含有因式x。令Q(x)=xR(x)，则Q(x-1)=(x-1)R(x-1)。代入④，得R(x-1)=R(x)，此式对任意x成立，故R(x)为常数。置R(x)=c，则...全部
x(x+1)P(x-1)=(x-1)(x-2)P(x)。。①
在①中，令x=0,得P(0)=0；令x=-1,得P(-1)=0；令x=2,得P(1)=0。故P(x)含有因式x(x-1)(x+1)。
从而可置P(x)=x(x-1)(x+1)Q(x),
即 P(x)=(x³-x)Q(x)。。②
P(x-1)=x(x-1)(x-2)Q(x-1)。。③
由①②③，得xQ(x-1)=(x-1)Q(x)。
。④
由④，知Q(x)含有因式x。令Q(x)=xR(x)，则Q(x-1)=(x-1)R(x-1)。代入④，得R(x-1)=R(x)，此式对任意x成立，故R(x)为常数。置R(x)=c，则Q(x)=cx。
代入②，得P(x)=cx(x³-x)。最后，由P(2)=24，求得c=12/7。
故 P(x)=12x^4/7-12x²/7。
。收起
