华数奥赛题57如图所示(见附件)
设|BA|=BC|=a,
向量BA*BC=a^2/2。
向量ED=1/2*BA+1/6*BC,
ED^2=1/4*a^2+1/36*a^2+1/6*BA*BC=13/36*a^2。
同理，向量EF=1/6*BA+2/3*BC,
EF^2=7/12*a^2,
ED*EF=1/12*a^2+1/9*a^2+(1/3+1/36)BA*BC=3/8*a^2。
∴cosDEF=3/8÷√（13/36*7/12）=(9√3)/(2√91），
∴sinDEF=11/(2√91）。
S△ABC=(√3)/4*a^2=36,
∴S△DEF=1/2*|ED|*|EF|*sinDEF
=1/2*[√（13/...全部
设|BA|=BC|=a,
向量BA*BC=a^2/2。
向量ED=1/2*BA+1/6*BC,
ED^2=1/4*a^2+1/36*a^2+1/6*BA*BC=13/36*a^2。
同理，向量EF=1/6*BA+2/3*BC,
EF^2=7/12*a^2,
ED*EF=1/12*a^2+1/9*a^2+(1/3+1/36)BA*BC=3/8*a^2。
∴cosDEF=3/8÷√（13/36*7/12）=(9√3)/(2√91），
∴sinDEF=11/(2√91）。
S△ABC=(√3)/4*a^2=36,
∴S△DEF=1/2*|ED|*|EF|*sinDEF
=1/2*[√（13/36*7/12）]*11/(2√91）*a^2
=(11√3)/144*a^2
=11。
。收起
