不等式的证明题已知x1,x2,x
已知x,y,z是正数,且 x+y+z=1,求证:
1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)≤27/10
此命题有几种证法，今提供两种。为书写方便更改符号。
证明 对于 0 (54-27x)*(1+x^2)≥50,
1/(1+x^2)≤(54-27x)/50。 (1)
在(1)式中分别代入x,y,z得:
1/(1+x^2)≤(54-27x)/50;
1/(1+y^2)≤(54-27y)/50;
1/(1+z^2)≤(54-27x)/50。
上述三式相加得:
1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)≤-(27/50)*(x+y+z)+162/50=...全部
已知x,y,z是正数,且 x+y+z=1,求证:
1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)≤27/10
此命题有几种证法，今提供两种。为书写方便更改符号。
证明 对于 0 (54-27x)*(1+x^2)≥50,
1/(1+x^2)≤(54-27x)/50。
(1)
在(1)式中分别代入x,y,z得:
1/(1+x^2)≤(54-27x)/50;
1/(1+y^2)≤(54-27y)/50;
1/(1+z^2)≤(54-27x)/50。
上述三式相加得:
1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)≤-(27/50)*(x+y+z)+162/50=27/10
证毕。
笫二种证法:
已知x1,x2,x3是正数,且 x1+x2+x3=1,求证 :
1/(1+x1^2)+1/1+x2^2)+1/(1+x3^2)27/10
证明 对所证不等式进行齐次化处理。
根据己知条件:x1+x2+x3=1，令x1=x/(x+y+z),x2=y/(x+y+z),x3=z/(x+y+z),其中x,y,z均为正数，则所证不等式等价于:
(x+y+z)^2/[(x+y+z)^2+x^2]+(x+y+z)^2/[(x+y+z)^2+y^2]+(x+y+z)^2/[(x+y+z)^2+z^2]≤27/10
x^2/[(x+y+z)^2+x^2]+y^2/[(x+y+z)^2+y^2]+z^2/[(x+y+z)^2+z^2]≥3/10，
根据柯西不等式:
{x^2*[x^2+(x+y+z)^2]+y^2*[y^2+(x+y+z)^2]+z^2*[z^2+(x+y+z)^2]}*{x^2/[(x+y+z)^2+x^2]+y^2/[(x+y+z)^2+y^2]+z^2/[(x+y+z)^2+z^2]}≥(x^2+y^2+z^2)^2，
因此我们只需证
10*(x^2+y^2+z^2)^2≥3*{x^2*[x^2+(x+y+z)^2]+y^2*[y^2+(x+y+z)^2]+z^2*[z^2+(x+y+z)^2]}
上式展开整理等价于:
4(x^4+y^4+z^4)-6x^3*(y+z)-6y^3*(z+x)-6z^3*(x+y)+14(y^2*z^2+z^2*x^2+x^2*y^2)-6xyz(x+y+z)≥0
上式分解整理等价于:
(2y^2+2z^2-2yz+3x^2)*(y-z)^2+(2z^2+2x^2-2zx+3y^2)*(z-x)^2+(2x^2+2y^2-2xy+3z^2)*(x-y)^2≥0。
上式各项均为非负。命题得证。
此不等式还有许多证法，在[中学数学]杂志上有好几人发表论文。有n元k次推广的。
。收起
