已知x1,x2,x3是正数,且 x1+x2+x3=1,求证 1/(1+x1^2)+1/1+x2^2)+1/(1+x3^2)<=27/10
已知x1,x2,x3是正数,且 x1+x2+x3=1,求证
1/(1+x1^2)+1/1+x2^2)+1/(1+x3^2) (54-27x)*(1+x^2)≥50,
1/(1+x^2)≤(54-27x)/50。
(1)
在(1)式中分别代入x,y,z得:
1/(1+x^2)≤(54-27x)/50;
1/(1+y^2)≤(54-27y)/50;
1/(1+z^2)≤(54-27x)/50。
上述三式相加得:
1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)≤-(27/50)*(x+y+z)+162/50=27/10
证毕。
证法二:
对所证不等式进行齐次化处理。
根据己知条件:x1+x2+x3=1,
令x1=x/(x+y+z),x2=y/(x+y+z),x3=z/(x+y+z),
其中x,y,z均为正数,则所证不等式等价于:
(x+y+z)^2/[(x+y+z)^2+x^2]+(x+y+z)^2/[(x+y+z)^2+y^2]+(x+y+z)^2/[(x+y+z)^2+z^2]≤27/10
T=x^2/[(x+y+z)^2+x^2]+y^2/[(x+y+z)^2+y^2]+z^2/[(x+y+z)^2+z^2]≥3/10,
根据柯西不等式:
{x^2*[x^2+(x+y+z)^2]+y^2*[y^2+(x+y+z)^2]+z^2*[z^2+(x+y+z)^2]}*T≥(x^2+y^2+z^2)^2,
因此只需证
10*(x^2+y^2+z^2)^2≥3*{x^2*[x^2+(x+y+z)^2]
+y^2*[y^2+(x+y+z)^2]+z^2*[z^2+(x+y+z)^2]}
上式展开整理等价于:
4(x^4+y^4+z^4)-6x^3*(y+z)-6y^3*(z+x)-6z^3*(x+y)
+14(y^2*z^2+z^2*x^2+x^2*y^2)-6xyz(x+y+z)≥0
上式分解整理等价于:
(2y^2+2z^2-2yz+3x^2)*(y-z)^2+(2z^2+2x^2-2zx+3y^2)*(z-x)^2
+(2x^2+2y^2-2xy+3z^2)*(x-y)^2≥0。
上式各项均为非负。命题得证。
。
已知x,y,z是正数,且 x+y+z=1,求证:
1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)≤27/10 (1)
证明: 先证:1/(1+x^2)≤9/10-(9/50)(3x-1) (2)
不等式(2)50 ≤45(1+x^2)-9(3x-1)(1+x^2)
9(3x-1)(1+x^2)-5(9x^2-1)≤0
(3x-1)[9(1+x^2)-5(3x+1)]≤0
(3x-1)(9x^2-15x+4)≤0
(3x-1)^2*(3x-4)≤0 (3)
由条件知0<x<1,于是不等式(3)成立,从而不等式(2)成立。
同理可得 1/(1+y^2)≤9/10-(9/50)(3y-1) (4)
1/(1+z^2)≤9/10-(9/50)(3z-1) (5)
(2)+(4)+(5),即得不等式(1)。
注: 不等式(2)也可以用待定系数法确定,并可tui广至n元的情形。
n元情形的局部不等式:
1/(1+xi^2)≤n^2/(n^2+1)-2n^2/(n^2+1)^2*(nxi-1) (i=1,2,…,n),
这n个不等式叠加,即得
1/(1+x1^2)+1/(1+x2^2)+…+1/(1+xn^2)≤n^3/(n^2+1)。
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此问题用结合函数图像法的证明如下,见附件的图片~~
偶然的发现,见附件!!