语文积累!曹怀东和朱熹平
曹怀东
曹怀东: Lehigh大学数学系讲座教授
曹怀东(Huai-Dong Cao)教授目前是美国里海(Lehigh)大学数学系的A。 Everett Pitcher讲座教授。目前正在浙江大学数学科学中心访问。
曹教授1981年本科毕业于清华大学,1986年在Princeton大学数学系获得博士学位。师从著名数学家丘成桐。曹教授主要从事的研究领域是微分几何学,涉及Kahler-Ricci流,数学物理等的众多方面。
曹教授曾获得Alfred P。 Sloan基础研究奖金(1991-93),John Simon Guggenheim基金会奖金(2004)等。是国际著名数学杂志Joun...全部
曹怀东
曹怀东: Lehigh大学数学系讲座教授
曹怀东(Huai-Dong Cao)教授目前是美国里海(Lehigh)大学数学系的A。 Everett Pitcher讲座教授。目前正在浙江大学数学科学中心访问。
曹教授1981年本科毕业于清华大学,1986年在Princeton大学数学系获得博士学位。师从著名数学家丘成桐。曹教授主要从事的研究领域是微分几何学,涉及Kahler-Ricci流,数学物理等的众多方面。
曹教授曾获得Alfred P。 Sloan基础研究奖金(1991-93),John Simon Guggenheim基金会奖金(2004)等。是国际著名数学杂志Jounal of Differential Geometry的执行主编。
曹怀东教授,以及另一位Yau的学生周培能(Bennett Chow)在Ricci流的研究中做出了许多重要的工作,受到Ricci流理论的创立者美国科学院院士Richard Hamilton的高度评价。
令人特别佩服的是,曹教授在国外的头4篇文章,分别发表在85,86,90,92年的Inventiones Mathematicae上。一般认为,目前最顶尖的数学综合性杂志(不包括JDG,Topology这样的专业性顶尖杂志)是,Inventiones Mathematicae,Annals of Mathematics, Acta Mathematica 以及 Jounal of AMS。
国内的教授如果能有一篇论文发在上述杂志上,基本上评博导是没有问题的。
Hamilton从Eells-Sampson的调和映照热流的工作受到启发,在1982年的文章中首先引入Ricci流的概念,就是从一个给定的初始黎曼度量出发,依照其Ricci曲率的变化,通过解一个抛物型的发展方程,得到一个单参数族的黎曼度量,最后希望证明当参数趋于无穷时,收敛到一个常曲率的度量。
Hamilton在1982年证明了三维闭流形上当初始度量具有正的Ricci曲率时,Ricci流方程的解在任意时刻都存在,并且收敛到一个正的常截曲率度量。大家回忆一下Poincare猜测是说,闭的单连通3维拓扑流形若和3维球面有相同的同调群(或等价的说,和3维球面同伦),则其实同胚于3维球面。
而Hamilton的这个曾轰动一时的发现使得我们只要证明任何一个闭的3维同伦球面上都存在正的Ricci曲率度量,就证明了Poincare猜测。这个猜测是Poincare在1904年提出来的,今年正好是100周年。
这是一个让无数拓扑学家迷恋的难题,错误的证明层出不穷,对她的研究极大的推动了3维拓扑学的发展。人们把她推广到高维情形的广义Poincare猜测,是说n维闭流形若同伦于n维球面,则其实同胚于n维球面。
n>4被Smale证明,n=4被Freedman证明。Thurston从更高的观点考虑Poincare猜测,提出了椭圆化猜想,是说每个具有有限基本群的闭的3维流形上,都存在正的常曲率度量。由于具有常正曲率的3维流形都以3维球面为它的万有覆盖。
所以从这个椭圆化猜想就可以推出Poincare猜测。椭圆化猜想是更广的Thurston几何化猜测的一个特例(对应球面几何情形)。Smale,Freedman,Thurston都是由于以上这些所提到的工作,获得了菲尔兹奖。
可见这个问题的重要。
由于一般来说,Ricci流方程的解在有限时间后会出现奇点,所以Hamilton又引入了对拓扑流形进行外科手术的技巧,和分析工具结合使用,得到了一大批激动人心的结果,建立起了一整套的证明Thurston几何化猜想的框架。
他的工作,使得人们相信,只要沿着Ricci流的方向走下去,迟早能解决这个让拓扑学家无能为力的难题。最近,俄国数学家Grisha Perelman宣称已经完全证明了Hamilton框架里的关键步骤,从而也彻底解决了Thurston的几何化猜想。
他的工作虽然还在审查中,但从目前得到的信息来看,是非常乐观的。可以确定的是,Perelman的工作极大的推动了Ricci流的发展,促进了分析学和拓扑学的融合。
朱熹平
“长江学者”教授风采:朱熹平
朱熹平,中山大学数学与计算科学学院长江学者特聘教授。
聘任岗位:基础数学。博士生导师。
个人简介
朱熹平教授, 男,1982年本科毕业于中山大学数学系,1984年在中山大学数学系取得硕士学位,1989年在中国科学院武汉数学物理研究所取得博士学位。
现任中山大学数学系教授、博士生导师,数学与计算科学学院院长,兼任广东省数学学会理事长,中国科学院晨兴数学中心学术委员会委员,浙江大学数学科学研究中心顾问,《数学物理学报》、《偏微分方程杂志》、《数学研究》编委。
朱熹平于1991年获中国科学院自然科学二等奖,于1997年入选教育部“跨世纪人才培养计划” ,1998年获国家杰出青年基金,列入1999年度国家人事部“百千万人才工程”第一、第二层次人选,并于2001年被聘为教育部“长江学者奖励计划”特聘教授。
2004年获得全球华人数学家大会颁发的晨兴数学银奖。
作为一名大学教师,朱熹平教授努力工作在教学第一线,始终坚持上本科生课程。近年来他担任过本科生一年级课程《数学分析》、二年级课程《复变函数》以及高年级课程《数理方程》、《微分几何》及《拓扑学》等。
同时每学期均讲授基础数学方面的研究生课程。他指导并于2000年取得博士学位的一位博士研究生的毕业论文于今年入选全国百篇优秀博士论文。
朱熹平教授在偏微分方程及微分几何两个领域里造诣高深。
早年他师从中国科学院院士丁夏畦教授进行偏微分方程的研究,后应邀到法国巴黎第九大学的著名数学家、法国科学院院士、Fields奖得主P。 L。 Lions教授处合作访问一年。这些使得他在偏微分方程的紧性结构及多解性方面取得了若干国际领先的工作。
俄罗斯著名数学家Steklov数学研究所的 Pohozaev在1997年出版的专著《Entire Solutions of Semilinear Elliptic Equations》( Birkhauser出版社)中用了整整两节共23页介绍朱熹平的一个定理及其应用。
近年来他的研究兴趣转向微分几何领域,先后解决了Grayson猜测以及 Gage公开问题,并且在 Ricci flow理论取得了重要创新。最近,著名数学家、中国科学院外籍院士、美国科学院院士、Fields奖得主、美国哈佛大学的丘成桐教授正在编辑有关Ricci flow领域的精选文集,他将朱熹平与陈兵龙于2000年发表在国际顶级数学刊物《Inventiones Mathematicae》上的一篇论文收集其中,并来信邀请朱熹平为该文集写一篇有关完备非紧流形Kahler-Ricci flow方面的综述文章。
由于朱熹平在曲率流方面作出具有国际领先水平的工作,美国CRC/Chapman & Hall出版社主动邀请他和曹启?N撰写的专著《The Curve Shortening Problem》已于2001年正式出版。
接着在2002年美国数学会与国际出版社(AMS/IP)联合出版了朱熹平题为《Lectures On Mean Curvature Flows》的另一本专著。
他较长期进行国际前沿的核心数学中几何分析领域的研究。
特别地,他较专注在几何热流的研究当中,在实Ricci流和复Kähler-Ricci流均作出了若干重要贡献。 朱熹平的工作特色在于利用几何热流作为工具解决微分几何和复几何当中的公开问题和猜测,他对于描述高维单值化问题的Greene-伍鸿熙-丘成桐猜测取得了突破性进展, 并且彻底地解决了关于复流形上全纯函数维数估计的著名丘成桐猜测。
近来,他对低维流形的几何化方面也作出了重要贡献。
2006年6月3日,哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐在中国科学院晨兴数学研究中心宣布:在美、俄等国科学家的工作基础上,中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明 国际数学界关注了上百年的重大难题——庞加莱猜想。
庞加莱猜想
一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare):“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。
”庞加莱作为数学家的伟大,并不完全在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想,就是其中的一个。
1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球。
如果你认为这个说法太抽象的话,我们不妨做这样一个想像:
我们想象这样一个房子,这个空间是一个球。或者,想象一只巨大的足球,里面充满了气,我们钻到里面看,这就是一个球形的房子。
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的,非常结实,没有窗户没有门,我们现在在这样的球型房子里。
现在拿一个汽球来,带到这个球形的房子里。随便什么汽球都可以(其实对这个汽球是有要求的)。这个汽球并不是瘪的,而是已经吹成某一个形状,什么形状都可以(对形状也有一定要求)。但是这个汽球,我们还可以继续吹大它,而且假设汽球的皮特别结实,肯定不会被吹破。
还要假设,这个汽球的皮是无限薄的。
好,现在我们继续吹大这个汽球,一直吹。吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想,吹到最后,一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住,中间没有缝隙。
看起来这是不是很容易想清楚?但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的,这需要严密的数学和逻辑推理。
一个世纪以来,无数的科学家为了证明它,绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会就把庞加莱猜想列为七个“千年大奖问题”之一, 克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金,每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。
另外六个“千年大奖问题”分别是: NP 完全问题, 郝治 猜想(Hodge), 黎曼假设(Rieman ),杨-米尔斯 理论(Yang-Mills), 纳卫尔-斯托可方程(Navier-Stokes), BSD猜想(Birch and Swinnerton-Dyer)。
提出这个猜想后,庞加莱一度认为,自己已经证明了它。但没过多久,证明中的错误就被暴露了出来。于是,拓扑学家们开始了证明它的努力。
20世纪30年代以前,庞加莱猜想的研究只有零星几项。
但突然,英国数学家怀特黑德(Whitehead)对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明,但不久就撤回了论文。失之桑榆、收之东隅,但是在这个过程中,他发现了三维流形的一些有趣的特例,而这些特例,现在被统称为怀特黑德流形。
30年代到60年代之间,又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想,著名的宾(R。Bing)、哈肯(Haken)、莫伊泽(Moise)和帕帕奇拉克普罗斯(Papa-kyriakopoulos)均在其中。
帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主,一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念,大家都称呼他“帕帕”(Papa)。在1948年以前,帕帕一直与数学圈保持一定的距离,直到被普林斯顿大学邀请做客。
帕帕以证明了著名的“迪恩引理”(Dehn's Lemma)而闻名于世,喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺(John Milnor)曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。
”然而,这位聪明的希腊拓扑学家,却折在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前,帕帕仍在试图证明庞加莱猜想,临终之时,他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友,然而,只是翻了几页,那位数学家就发现了错误,但为了让帕帕安静地离去,最后选择了隐忍不言。
这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究,虽然没能产生他们所期待的结果,但是,却因此发展出了低维拓扑学这门学科。
一次又一次尝试的失败,使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。
然而,因为它是几何拓扑研究的基础,数学家们又不能将其撂在一旁。这时,事情出现了转机。
1966年菲尔茨奖得主斯梅尔(Smale),在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解决,高维的会不会容易些呢?1960年到1961年,在里约热内卢的海滨,经常可以看到一个人,手持草稿纸和铅笔,对着大海思考。
他,就是斯梅尔。1961年的夏天,在基辅的非线性振动会议上,斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明,立时引起轰动。
10多年之后的1983年,美国数学家福里德曼(Freed man)将证明又向前推动了一步。
在唐纳森工作的基础上,他证出了四维空间中的庞加莱猜想,并因此获得菲尔茨奖。但是,再向前推进的工作,又停滞了。
拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展,有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿(Thruston)就是其中之一。
他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割,并因此获得了1983年的菲尔茨奖。
然而,庞加莱猜想,依然没有得到证明。人们在期待一个新的工具的出现。
“就像费马大定理,当谷山志村猜想被证明后,尽管人们还看不到具体的前景,但所有的人心中都有数了。
因为,一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任文志英说。
可是,解决庞加莱猜想的工具在哪里?
工具有了。
理查德·汉密尔顿,生于1943年,比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候,丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”,但提起他的数学成就,却只有称赞和惺惺相惜。
1972年,丘成桐和李伟光合作,发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想,并因此获得菲尔茨奖。1979年,在康奈尔大学的一个讨论班上,当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。
“那时候,汉密尔顿刚刚在做Ricci流,别人都不晓得,跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到,1980年,他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说,“于是,我跟他讲,可以用这个结果来证明庞加莱猜想,以及三维空间的大问题。
”
Ricci流,以意大利数学家Gregorio Ricci命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术,构造几何结构,把不规则的流形变成规则的流形,从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后,丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。
其中,就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹怀东。
第一次见到曹怀东,是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间,几乎所有的媒体都在找曹怀东,但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他,在会场里走了好几圈,居然没有人认出。
这也难怪。绝大多数的数学家,依然是远离公众视线的象牙塔中人,即使是名动天下如威滕(Witten),坐在后排,俨然也是大隐隐于市的模样。
1982年,曹怀东考取丘成桐的博士。1984年,当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时,曹怀东也跟了过来。
但是,他的绝大多数时间,是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时,丘成桐的4名博士生,全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的,是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文,提出很多好的观点,可是,因为个性和环境的原因,在没有拿到大学的终身教职后,施皖雄竟然放弃了做数学。
提起施皖雄,时至今日,丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是,如果,当时的施皖雄坚持下去,今天关于庞加莱猜想的故事,是否会被改写?
在使用Ricci流进行空间变换时,到后来,总会出现无法控制走向的点。
这些点,叫做奇点。如何掌握它们的动向,是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后,1993年,汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时,丘成桐隐隐感觉到,解决庞加莱猜想的那一刻,就要到来了。
。收起